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Mathematik » Zahlentheorie » Primzahlzählfunktion
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Universität/Hochschule J Primzahlzählfunktion
Pfandflasche007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.10.2021
Mitteilungen: 43
  Themenstart: 2022-05-23

Hallo, ich habe eine kurze Frage, zur Primzahlzählfunktion. Wie kommt man darauf, dass es eine Primzahl p mit $ x < p ≤ (1 + \varepsilon)x$ geben muss? Ich würde mich sehr über Hilfe freuen. Viele Grüße, Pfandflasche007


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3565
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Es wäre sinnvoll, wenn Du den ganzen Beweis zeigst nicht nur die eine Stelle. Es ist z.B. gar nicht klar, was $x$ sein soll.\(\endgroup\)


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Ixx
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Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 266
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-23

Hier wird einfach der Primzahlsatz in der Form $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\log x}}=1$ verwendet. Aufgrund des Grenzwerts existiert für jedes $\varepsilon>0$ ein $x_1$, sodass für alle $x>x_1$ der Quotient $\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\log x}}$ im offenen Intervall $\left(1-\frac{\varepsilon}{3},1+\frac{\varepsilon}{3}\right)$ liegt. Insbesondere gilt dies dann auch für $(1+\varepsilon)x>x>x_1$. Damit werden nun gemäß der sich daraus ergebenden Ungleichungen $\pi((1+\varepsilon)x)$ nach unten und $\pi(x)$ nach oben abgeschätzt, woraus sich die rot unterstrichene Ungleichung ergibt.


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Pfandflasche007
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Dabei seit: 02.10.2021
Mitteilungen: 43
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23

Hallo, vielen Dank, dass ihr mir noch so spät geantwortet habt und tut mir leid, dass ich jetzt erst wieder am Morgen schreibe. @Nuramon vielen dank für den Hinweis, ich habe die Aufgabenstellung nun in die Frage getan, ansonsten war das alles was ich zu der Aufgabe as Lösung hatte @Ixx Vielen vielen Dank für die Erklärung, mir ist jetzt alles klar :)


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