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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenvektor
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Universität/Hochschule J Eigenvektor
Red_fox
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  Themenstart: 2022-05-23

Hallo zusammen, derzeit beschäftige ich mich mit Eigenwerten und Vektoren. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen: Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Matrix D = diag(4,3,2,1). Nun meine Frage, ich kenne es ganz normal über das Verfahren der Determinante (A-lamda*E) = 0 die Eigenwerte und anschließend über das Subtrahieren dieser bei der Hauptdiagonalen die Eigenvektoren zu bestimmten (nach Gauß-Verfahren). Muss ich bei einer diagonalisierten Matrix einfach das gleiche tun? Die Eigenwerte sind ja bereits in der Matrix gegeben oder muss ich D irgendwie zurück zu Matrix A rechnen. Mit freundlichen Grüßen


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-23

Vielleicht denkst du mal geometrisch darüber nach. Bei dieser Aufgabe kann man zum Ergebnis kommen ohne eine einzige Rechnung durchzuführen. Was bedeutet diese Matrix? Welche lineare Abbildung stellt sie dar? Was macht diese Abbildung genau? Was bedeutet es geometrisch gesehen, dass ein Vektor ein Eigenvektor einer Abbildung ist? LG Nico


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Red_fox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23

Hallo nzimme10, Die Matrix sagt mir, dass ich 4 linear unabhängige Eigenvektoren habe. Die Basis der Matrix besteht damit aus 4 Vektoren. Müssten das dann nicht die kanonischen Einheitsvektoren sein?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) So etwas wie eine Basis einer Matrix ist m.E. nach kein geläufiger Begriff, was soll das denn bedeuten? Die Matrix $A=\opn{diag}(4,3,2,1)$ stellt eine lineare Abbildung $\mathbb R^4\to \mathbb R^4$ dar, eben genau die Abbildung $v\mapsto Av$. Was macht diese Abbildung nun mit einem beliebigen Vektor im $\mathbb R^4$? Versuche das mal geometrisch zu beschreiben, wenn du kannst. Überlege dir anschließend anschaulich, was es im Allgemeinen bedeutet, dass ein Vektor ein Eigenvektor einer Abbildung ist. Du hast schon recht, dass es in diesem Fall gerade die kanonischen Einheitsvektoren sind, aber ich bin mir nicht sicher ob du auch genau verstehst warum das so ist. LG Nico\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-23

Hallo Red_fox, als Ergänzung zu nzimme10's Hinweisen: denke einmal über Streckungen nach. (Welche geometrische Bedeutung haben Eigenvektoren denn?) Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]


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Red_fox
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23

Ein Eigenvektor ist gerade der Vektor zu einer Abbildungsmatrix A der seine Richtung beibehält und nur gestreckt wird. In dem Fall müssen das ja die 4 Einheitsvektoren sein oder zumindest deren Vielfache. R4 -> R4 mit dieser Matrix bedeutet, dass jede Stelle multipliziert wird des Vektors. Dieser behält nur dann seine Richtung bei wenn er nur eine Stelle besitzt außer Null. Kann man das so sagen?🤔 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-05-23 09:39 - Red_fox in Beitrag No. 5) Ein Eigenvektor ist gerade der Vektor zu einer Abbildungsmatrix A der seine Richtung beibehält und nur gestreckt wird. In dem Fall müssen das ja die 4 Einheitsvektoren sein oder zumindest deren Vielfache. R4 -> R4 mit dieser Matrix bedeutet, dass jede Stelle multipliziert wird des Vektors. Dieser behält nur dann seine Richtung bei wenn er nur eine Stelle besitzt außer Null. Kann man das so sagen?🤔 \quoteoff Ganz genau. Eigenvektoren sind Vektoren, die von einer linearen Abbildung lediglich mit einem Faktor gestreckt werden. Die Abbildung die zu deiner Matrix gehört nimmt einen beliebigen Vektor $v\in \mathbb R^4$ und streckt ihn um Faktor $4$ in Richtung von $e_1=(1,0,0,0)^t$, um Faktor $3$ in Richtung $e_2$ und so weiter. Setzt man daher die kanonischen Einheitsvektoren $e_1,\dots,e_4$ in diese Abbildung ein, so werden diese eben gerade nur gestreckt um den jeweiligen Faktor. LG Nico\(\endgroup\)


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Red_fox
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23

Danke Nico und Diophant! Dann habe ich es verstanden 😀


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nzimme10
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Du solltest aber beachten, dass das nicht alle Eigenvektoren sind. Eigenvektoren sind, sofern vorhanden, nicht eindeutig bestimmt. Man kann also auch nicht, wie du es gemacht hast, von dem Eigenvektor sprechen. Es gibt in diesem Fall zu jedem der Eigenwerte $1,2,3$ und $4$ unendlich viele Eigenvektoren. Kannst du erklären, warum? LG Nico\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-23 09:45 - nzimme10 in Beitrag No. 8) Es gibt in diesem Fall zu jedem der Eigenwerte $1,2,3$ und $4$ unendlich viele Eigenvektoren. \quoteoff Gestattet mir auch hierzu noch einen Nachtrag. Wenn wir mal von diesem konkreten Fall weggehen und das ganze allgemeiner betrachten: dann gibt es auch Eigenwerte, zu denen es mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Das kann passieren, wenn die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts größer als 1 ist (was im vorliegenden Fall klar erkennbar nicht der Fall sein kann!). Diese Eigenvektoren spannen den sog. Eigenraum auf, dessen Dimension maximal so groß ist wie die algebraische Vielfachheit des zugehörigen Eigenwerts. Man nennt diese Dimension auch geometrische Vielfachheit des betreffenden Eigenwertes. Jeder Vektor dieses Eigenraums ist selbst wieder Eigenvektor zum betreffenden Eigenwert. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Red_fox
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23

Hallo, Da hast du natürlich Recht Nico. Ich müsste vermutlich genauer schreiben lamba* die Einheitsvektoren für Lamba aus R da ja jeder vielfache Vektor der Einheitsvektoren ein Eigenvektor wäre.


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Diophant
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\quoteon(2022-05-23 12:29 - Red_fox in Beitrag No. 10) Da hast du natürlich Recht Nico. Ich müsste vermutlich genauer schreiben lamba* die Einheitsvektoren für Lamba aus R da ja jeder vielfache Vektor der Einheitsvektoren ein Eigenvektor wäre. \quoteoff Tipp: dieser griechische Buchstabe heißt Lambda. Gruß, Diophant


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Red_fox
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23

Hallo Diophant, Das stimmt😀 ist die Autokorrektur... der kennt leider kein Lambda :D


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