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| Autor |
 Warum darf man im Betrag prüfen, ob eine Folge eine Nullfolge ist? |
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benutzer0
Neu 
Dabei seit: 29.05.2022
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2022-05-30
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55622_asdaaaa.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55622_asdda.png
Das macht doch keinen Sinn, dass ich das im Betrag prüfe?
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Qing
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Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 159
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-30
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Hallo,
du könntest hier auch wieder das Sandwich-Lemma bemühen und die Konvergenz gegen Null so begründen:
$\frac{-1}{\sqrt{n}}\leq \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$.
Da jetzt die einschließenden Folgen gegen Null konvergieren, tut dies auch die mittlere.
Wenn du noch genauer hinsiehst, dann siehst du ebenfalls, dass diese Abschätzung nach oben und unten eigentlich genau das ist, was der Betrag zusammenfasst.
Die betragsmäßige Folge zeigt hier also, dass die beiden Teilfolgen (für gerades und ungerades $n$) den gleichen Grenzwert Null hat.
Selbstfrage für dich:
Was ist der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n$?
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benutzer0
Neu
Dabei seit: 29.05.2022
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-30
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\quoteon(2022-05-30 02:36 - Qing in Beitrag No. 1)
Hallo,
du könntest hier auch wieder das Sandwich-Lemma bemühen und die Konvergenz gegen Null so begründen:
$\frac{-1}{\sqrt{n}}\leq \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$.
Da jetzt die einschließenden Folgen gegen Null konvergieren, tut dies auch die mittlere.
Wenn du noch genauer hinsiehst, dann siehst du ebenfalls, dass diese Abschätzung nach oben und unten eigentlich genau das ist, was der Betrag zusammenfasst.
Die betragsmäßige Folge zeigt hier also, dass die beiden Teilfolgen (für gerades und ungerades $n$) den gleichen Grenzwert Null hat.
Selbstfrage für dich:
Was ist der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n$?
\quoteoff
Danke, (1-1/Wurzel(n))^n sollte gegen 1^n, also 1 konvergieren oder? wenn ich den limes laufen lasse ist 1/Wurzel(n)=0 somit bleibt 1^n?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9539
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-30
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Zu deiner eigentlichen Frage mit der Verwendung der Betragsklammern:
\quoteon(2022-05-30 02:26 - benutzer0 im Themenstart)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55622_asdda.png
Das macht doch keinen Sinn, dass ich das im Betrag prüfe?
\quoteoff
Doch, das ist einfach ein Formalismus, den man theoretisch ebensogut durch den Begleittext "es ist egal, ob der Zähler konstant 1 ist oder das Vorzeichen alterniert" ersetzen könnte. Das geschieht also im Sinn einer mathematisch korrekten bzw. ansprechenden Schreibweise und hat ansonsten keinen tieferen Sinn.
Gruß, Diophant
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 159
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-30
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\quoteon
Danke, (1-1/Wurzel(n))^n sollte gegen 1^n, also 1 konvergieren oder? wenn ich den limes laufen lasse ist 1/Wurzel(n)=0 somit bleibt 1^n?
\quoteoff
Nein, eben nicht.
Kennst du schon die Eulersche Zahl?
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studkal
Aktiv 
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Mitteilungen: 33
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)
\quoteon(2022-05-30 02:26 - benutzer0 im Themenstart)
Das macht doch keinen Sinn, dass ich das im Betrag prüfe?
\quoteoff
Hier noch eine weitere Erklärung: Aus der Definition der Folgenkonvergenz folgt unmittelbar, dass
$$\lim_{n \to \infty} a_n = a \quad (1)$$
und
$$\lim_{n \to \infty} | a_n - a | = 0 \quad (2)$$
äquivalent sind.
Um zu zeigen, dass $a_n = \frac{(-1)^n}{3\sqrt{n}}$ eine Nullfolge ist, genügt es also
$$ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(-1)^n}{3\sqrt{n}} - 0 \right| = 0$$
zu zeigen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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