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Funktionentheorie » Holomorphie » Meromorphe Funktionen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab
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Universität/Hochschule J Meromorphe Funktionen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab
sina1357
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  Themenstart: 2022-06-15

Hallo zusammen, ich bearbeite folgende Aufgabe Sei $G\subset\mathbb{C}$ ein Gebiet und $f:G\to\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ eine meromorphe, nicht konstante Funktion. Zeige: $f(G)$ ist eine in $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ offene Menge. Bisher habe ich folgenden Ansatz: Ich weiß, dass es reicht, alle $z\in G$, $f(z)=\infty$ zu betrachten. Also sei $z_o$ ein Pol. Weil die Nullstellenmenge von $f$ diskret ist, existiert ein $r>0$, sodass $f(z)\neq 0$ für jedes $z\in B_r(z_0).$ Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgt, dass $g:B_r(z_0)\to\mathbb{C}, z\to\frac{1}{f(z)}$ holomorph ist. Nach dem Satz von der Gebietstreue ist $g(B_r(z_0))$ offen. Aber wie kann ich weitermachen? Ich weiß, dass $f(G)$ genau dann eine Umgebung von $\infty$ ist, wenn eine kompakte Menge $K$ existiert, sodass $(\mathbb{C}\cup\{\infty\}) \setminus K \subset f(G).$ Danke für eure Hilfe!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, betrachten wir eventuell zunächst den Fall, dass $f$ einen einzigen Pol $z_0\in G$ besitzt und setzen wir $U:=f(G)$. Nun sind zwei Dinge zu zeigen: 1) $U\cap \mathbb C$ ist offen in $\mathbb C$. 2) Es gibt ein $c>0$, so dass $\lbrace z\in \mathbb C \mid |z|>c\rbrace\subseteq U$ gilt. Zu 1) Es ist $U\cap \mathbb C=f(G\setminus\lbrace z_0\rbrace)$. Da $f|_{G\setminus\lbrace z_0\rbrace}$ holomorph und $G\setminus\lbrace z_0\rbrace$ offen ist, folgt die Aussage mit dem Offenheitsprinzip, da $f$ nicht konstant ist. Zu 2) Das hast du eigentlich fast schon gezeigt. Du weißt, dass $g(B_r(z_0))$ offen ist und $0\in g(B_r(z_0))$ gilt. Folglich gibt es ein $s>0$ mit $B_s(0)\subseteq g(B_r(z_0))$. Folglich enthält $U$ alle $z\in \mathbb C$ mit $|z|>\frac 1s=:c$. Anmerkung 1: Die Begründung für die holomorphe Fortsetzbarkeit von $1/f$ nach $z_0$ halte ich für ungenügend. Die Aussage ist richtig, keine Frage, aber hier geht ein, dass $z_0$ ein Pol von $f$ ist. Aus der Tatsache $f(z)\neq 0$ in einer Umgebung von $z_0$ folgt die gewünschte Aussage nicht. Folglich benötigst du auch die Diskretheit der Nullstellenmenge von $f$ hier nicht. Schau dir den Riemannschen Hebbarkeitssatz am besten noch einmal genauer an und auch, was es bedeutet, dass $z_0$ ein Pol ist. Überlege dir anschließend, wie du die Voraussetzungen des Satzes hier zeigen kannst. Anmerkung 2: Die Bedingungen 1) und 2) sind die typische Definition für die Topologie auf $\widehat{\mathbb C}$. Vermutlich habt ihr die Topologie auch so definiert? Eine Intuition für diese Definition kann man von der Riemannschen Zahlensphäre erhalten. LG Nico\(\endgroup\)


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sina1357
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16

Hallo Nico, vielen Dank für deine ausführliche Antwort!!!! Deine Tipps aus Anmerkung 1 habe ich umgesetzt und den Beweis konnte ich beenden. LG Sina


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sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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