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Universität/Hochschule J Kommutator berechnen
physics100
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  Themenstart: 2022-06-21

Hallo alle! Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung: Berechne den Kommutator [Lz,x]. Ich habe versucht den kommutator auszurechnen, aber kam leider nicht besonders weit. Was mach´ich hier falsch? Ich stehe gerade wirklich auf der Leitung. Könnt ihr bitte einen Blick werfen und mir erklären, wie ich genau vorgehen muss?


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Spock
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-22

Hallo! Wenn man nicht ausreichend Übung bei solchen Kommutator-Berechnungen hat, empfiehlt es sich immer, den Kommutator auf eine Funktion wirken zu lassen, und diese bei der Rechnung bis zum Ende mitzuschleppen, also f=f(x,y) [ L^^_z , x^^ ] f=L^^_z (x^^ f)-x^^ (L^^_z f) Der Fehler passiert bei Dir in der Berechnung von L^^_z (x^^ f) da mißachtest Du die Produktregel. Grüße Juergen


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physics100
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22

Danke für deine Rückmeldung erstmal! Wie genau soll ich hier die Produkregel anwenden? Ich hab´s mal so gemacht. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_8A21F097-F46F-4A46-BAE8-D2C08E04264F.jpeg


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Spock
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-22

Hallo, und nein, Du hast beim Differenzieren immer noch Probleme. Ich hoffe, dieser Schreibweise \lr(1)[ L^^_z , x^^ ] f=L^^_z (x^^ f)-x^^ (L^^_z f) kannst Du noch zustimmen, bzw. Du weißt, wie es gemeint ist. Dann rechne Schritt für Schritt, zunächst den ersten Term auf der rechten Seite von ref(1) L^^_z (x^^ f)=\hbar/\ii (x^2 pdiff( ,y) f-y pdiff( ,x)(x f)) Und was erhälst Du jetzt für pdiff( ,x)(x f)=? Grüße Juergen


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physics100
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22

Ich bin sehr dankbar, dass du mit mir die Aufgabe schrittweise durchgehst, denn ich hänge schon seit tagen an solchen Aufgaben und war sehr verwirrt. Wenn ich d/dx (xf), kommt folgendes raus. Ich habe zuerst nach x abgeleitet und habe 1 erhalten. Dann leite ich im zweiten Schritt (was rechts nach dem Pluszeichen steht) wieder nach x ab und erhalte entweder x oder die Funktion f oder xf. Ich weiß es leider nicht. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_32ECD034-3416-43C9-9528-990BDF011EA4.jpeg Edit: Also was ich grundsätzlich nicht versteh´(und da mangelts auch die ganze Zeit): Wenn ich wie oben dieses x d/dx f habe, kann ich dann das linke x ableiten? Oder wirkt dieses d/dx nur auf f, also darf ich dann nur rechts bzw, f ableiten?


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Spock
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-22

Hallo! Das sieht jetzt schon etwas besser aus, :-) ABER: Die erste Zeile ist richtig bis auf das zarte Rosa unterhalb des zweiten Termes, wodurch die zweite Zeile dann nicht mehr stimmt. Es sollte heißen: pdiff( ,x)(x f)=f+x pdiff( ,x)f Und das mußt Du erstmal so stehen lassen. Du weißt ja nicht, wie die Funktion f aussieht. Das bedeutet, und Du rechnest das nach, man hat das Zwischenergebnis L^^_z (x^^ f)=\hbar/\ii (x^2 pdiff( ,y) f-y f-y x pdiff( ,x) f) Du machst jetzt bitte weiter mit dem zweiten Term x^^ (L^^_z f)=? Wenn Du dann beide Terme voneinander abziehst, hebt sich vieles weg, und man erhält ein relativ einfaches Ergebnis Probier das, und melde Dich bei Problemen Grüße Juergen


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physics100
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22

Vielen Dank für die Erklärung! Darf ich fragen wie du auf das Zwischenergebnis gekommen bist. Also was nach Lz (xf) steht. Das ist für mich noch nicht so einleuchtend.


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Spock
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-23

Hallo, ich habe lediglich den kompletten Drehimpuls-Operator in der Ortsdarstellung ausgeschrieben und angewendet, so wie er bei Dir im Themenstart richtig steht: L^^_z=\hbar/\ii (x pdiff( ,y)-y pdiff( ,x)) Unser "erster Schritt" war ja dann L^^_z (x^^ f)=\hbar/\ii (x pdiff( ,y)-y pdiff( ,x))(xf) Das musst Du ausmultiplizieren und beachten, daß die partielle Ableitung nach y per Definition nur auf f==f(x,y) wirkt, also ausfürlich L^^_z (x^^ f)=\hbar/\ii (x pdiff( ,y)-y pdiff( ,x))(xf)=\hbar/\ii (x^2 pdiff( ,y) f-y pdiff( ,x) (xf)) Im letzten Term rechts kommt dann noch die Produktregel ins Spiel, die hatten wir oben ja schon, so daß Du jetzt das Ergebnis L^^_z (x^^ f)=\hbar/\ii (x^2 pdiff( ,y) f-y f-y x pdiff( ,x) f) verifizieren kannst?


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physics100
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23

Vielen lieben Dank für die verständliche Erklärung. Den ersten Teil Lzx habe ich endlich verstanden. Es ist jetzt viel besser geworden, da ich das Prinzip dank dir verstanden habe. Den zweiten Teil (xLz) habe ich probiert, kann aber nicht sagen, ob der stimmt. Können wir den auch noch durchgehen? Auf jeden fall sieht´s mal so aus: Edit: Ich bin jetzt drauf gekommen, dass ich den zweiten Teil gar nicht ableiten kann, da ich nach d/dy und d/dx kein Produkt habe, man hat bspw. Nach d/dy ein f stehen, daher kann man hier die Produktregel gar nicht anwenden. Das ganze sieht dann so aus: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_5B5A0A59-0D9C-4302-88D8-70FAE50B4F00.jpeg


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Spock
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-24

Hallo! Das Ergebnis für x^^ (L^^_z f) ist richtig, allerdings stimmt das erste Gleichheitszeichen in der ersten Zeile nicht, x^^ (L^^_z f) ist nur ein Teil des Kommutators, siehe die Gleichung ref(1) in Beitrag No.3 \lr(1)[ L^^_z , x^^ ] f=L^^_z (x^^ f)-x^^ (L^^_z f)=? Du mußt jetzt noch Deine beiden Ergebnisse zusammenfassen. Grüße Juergen


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physics100
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Achja, stimmt :) Wenn ich das ganze zusammenfasse, sieht´s so aus: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_5623714F-C21D-49D3-923C-5CFF7CBA8937.jpeg Und nochmals vielen vielen Dank Juergen, dass du mit mir die Aufgabe schrittweise durchgegangen bist. Bin dir sehr dankbar!


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PhysikRabe
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-25

Hallo physics100, die erste und auch die vorletzte Gleichung ist noch immer falsch. Siehst du, warum? Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Danke Physik Rabe für deine Antwort! Aber ich erkenne leider nicht, warum die beiden Gleichungen falsch sind. Ich hab davor zwei Teile gehabt und hab die dann zusammengefasst. Also Lz,x und x,Lz sind korrekt und die habe ich dann am Ende zusammengefasst.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-06-25

Schau nochmal genau hin und frage dich: Möchtest du die Rechnung mit Operatoren oder mit Funktionen (also Elementen des Hilbertraums) durchführen? Was ist denn $f$, und was passiert damit? Nur um das klarzustellen: Dein Ergebnis $[\hat{L}_z , \hat{x}] = i\hbar\hat{y}$ (eine Identität von Operatoren!) ist prinzipiell richtig, aber die Gleichungskette ergibt so keinen Sinn. Grüße, PhysikRabe


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Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann darf nach dem Gleichheitszeichen von [Lz,x] die ganze Gleichung, was ich oben gepostet habe, nicht stehen. Nach dem Gleichheitszeichen muss direkt i*h*y stehen. Die Berechnungen an sich stimme ja , oder? Nur die Schreibweise war falsch


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-25

\quoteon(2022-06-25 19:57 - physics100 in Beitrag No. 14) Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann darf nach dem Gleichheitszeichen von [Lz,x] die ganze Gleichung, was ich oben gepostet habe, nicht stehen. Nach dem Gleichheitszeichen muss direkt i*h*y stehen. \quoteoff Nein, so meine ich das nicht. Du möchtest doch $[\hat{L}_z , \hat{x}]$ "ausrechnen". Das ist ein Operator. Um die Rechnung durchzuführen, hast du eine beliebige Funktion $f$ (Element des zugrundeliegenden Hilbertraums) genommen und $[\hat{L}_z , \hat{x}]$ darauf angewendet, d.h. du betrachtest $[\hat{L}_z , \hat{x}]f$. Das ist wieder eine Funktion (also ein Element des Hilbertraums). Du hast dann $[\hat{L}_z , \hat{x}]f(x,y) = i\hbar yf(x,y)$ gezeigt. Weil das für jedes beliebige $f$ gilt, kannst du das als eine Identität von Operatoren schreiben, also $[\hat{L}_z , \hat{x}] = i\hbar\hat{y}$ (bemerke, dass die Symbole mit Hut Operatoren bezeichnen). Siehst du nun, warum deine Gleichung in Beitrag No. 10 keinen Sinn ergibt? Du vermischt Operatoren und Funktionen, einmal taucht das $f$ auf, dann wieder nicht. Es ist das selbe Problem wie in deinem anderen Thread: \quoteon(2022-06-25 08:50 - zippy in Beitrag No. 2) * Die Funktion $f$ taucht nach eine paar Umformungen aus dem Nichts auf. Du kannst nicht innerhalb einer Gleichgungskette von Operatoren zur Anwendung von Operatoren auf $f$ übergehen. \quoteoff Dein Fehler ist analog zu folgender (zugegeben etwas praxisfernen, aber was soll's) Situation: Angenommen du hast zwei Funktionen $g$ und $h$ auf einem gemeinsamen Definitionsbereich. Du möchtest zeigen, dass $g=h$ ist. Dazu nimmst du ein Element $x$ aus dem Definitionsbereich und zeigst, dass $g(x)=h(x)$ gilt. Hier sollte es noch offensichtlicher sein, dass eine "Gleichung" der Form $g=h(x)$ nicht wirklich sinnvoll ist (links steht eine Abbildung, rechts ein Element des Zielraums). 😉 Grüße, PhysikRabe


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Vielen vielen Dank PhysikRabe für deine Erklärung! Ich glaube jetzt weiß ich was du meinst. Dann müsste das so aussehen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_4C0FA1A0-142F-4F8A-85FE-E6ADCD4F5C34.jpeg Bei y fehlt das Dach. Und noch eine Frage: Im anderen Thread habe ich auch noch eine weitere Aufgabe zum Kommutator gerechnet und da hatte ich eben das gleiche Problem. Aber die stimmt die Rechnung an sich?


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