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Universität/Hochschule Homotopieäquivalenz mit Einbettung
Alif
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  Themenstart: 2022-06-22 17:06

Hallo zusammen, ich hätte ein paar kurze Nachfragen, da ich in der Uni etwas schludrig aufgeschrieben habe und daher nicht mehr alles lesen kann beziehungsweise die Tinte verwischt ist und ich vielleicht auch etwas vergessen habe. Ich habe einen Raum aus Funktionen \(x: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) für die gilt \(x(0) = a\) nennen wir diesen Raum einfach \(X\). Nun existiert eine Abbildung \(f: X \times [0,1] \rightarrow X, (x,y) \mapsto y_*x\) dafür gilt wiederum \(y_*x: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto x(yt)\). Somit erhalten wir \(f(.,0): X \rightarrow X, x \mapsto a\) und \(f(.,1) = id: X \rightarrow X, a \mapsto a\). Damit erhält man nun \(id: X \rightarrow X\) und \(const: X \rightarrow X, x \mapsto a\). Somit folgt nun die Homotopieäquivalenz zwischen \(\lbrace a \rbrace\) und \(X\) mithilfe der Einbettung \(ein\) und \(const\). \(const(ein(a)) = const(a) = a = id_{\lbrace a \rbrace}\). \(ein(const(x)) = ein(a) = x = id_X\). Damit ist die Homotopieäquivalenz nun bewiesen. Dazu hätte ich allerdings drei Fragen: 1) Ist \(f(.,1) = id\) korrekt, mir scheint das nicht ganz zu stimmen? 2) Warum benötige ich den ersten Teil mit der Funktion \(f\)? 3) Warum gilt \(ein(a) = x\), müsste das nicht \(a\) ergeben? Ich hoffe, dass mir jemand diesbezüglich weiterhelfen kann, da ich es teils nicht mehr lesen kann, danke für alle Antworten zu den drei Fragen. Schöne Grüße Alif


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-22 17:52

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) 1) Wieso scheint es dir nicht zu stimmen? Schreibe die Definitionen aus. Dass in deiner Formel $f(-,1):a \mapsto a$ der Buchstabe $a$ gewählt wurde, ist aber sicherlich keine gute Notation von deinem Dozenten. 2) Welchen ersten Teil meinst du? Dieses $f$ ist eine Homotopie. Vielleicht verwirrt dich, dass $f$ nachher nie verwendet wurde. Das liegt daran, dass das Argument falsch ist. 3) Du hast Recht, dass hier ein Fehler ist. Es sind grundsätzlich viele Fehler in Text. Zum Beispiel sind gibt es in deinem Text stillschweigend zwei unterschiedliche $\operatorname{const}$ Abbildungen, die zweite Gleichung ist falsch - hier muss die Homotopie ins Spiel kommen - und z.B. die Gleichheiten $a = \id_{\{a \}}$ ergeben keinen Sinn, rechts steht eine Funktion, links ein Element. Hier ist eine Skizze des Argumentes: Betrachte die Abbildungen $ \operatorname{ein} : \{a \} \to X, \ a \mapsto a$ und $\operatorname{const} : X \to \{a \}, \ x \mapsto a$. Das sind homotopie-inverse stetige Abbildungen:
  • Zeige $\operatorname{const} \circ \operatorname{ein} = \id_{\{a \}}$.
  • Zeige $\operatorname{ein} \circ \operatorname{const} \simeq \id_X$.
Übrigens muss auch die Stetigkeit von $f$ nachgeprüft werden, wofür man die richtige Topologie auf $X$ kennen muss. P.S.: \operatorname. Siehe https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=258935&start=0#p1880740.
\(\endgroup\)


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Alif
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22 23:28

Hallo Kezer, danke soweit, ich gehe deine Antwort im Folgenden einmal durch, dann kannst du auch nochmal schreiben, da ich Teile noch nicht verstanden habe. 1) \(f(x,1) = 1_*x = x(t)\), ich mache hier wohl einen Fehler, weiß aber nicht warum, mit \(a\) habe ich die Notation des Dozenten vereinfacht. 2) Mit ersten Teil meine ich meine ersten drei Zeilen der Rechnung, der Teil, welcher sich eben mit \(f\) beschäftigt. Welches Argument ist konkret falsch, beziehungsweise könntest du erklären, wie "das" Argument richtig ausgeführt ist? 3) Dass Fehler im Text sind und es zwei verschiedene \(\operatorname{const}\) Abbildungen mit verschiedenen Zielräumen gibt, ist mir klar; ich habe es eben noch so abgeschrieben, wie ich es lesen konnte und verstanden habe. Dass die zweite Gleichung falsch ist, war klar und dass die Homotopie \(f\) nötig ist, hat der Dozent noch mündlich erwähnt, glaube ich. Ist mit \(a = \operatorname{id}_{\lbrace a \rbrace}(a)\) die Gleichung nun korrekt? Ich versuche das Argument, wie du es skizziert hast zu zeigen: \(\operatorname{const} \circ \operatorname{ein}(a) = \operatorname{const}(a) = a = \operatorname{id}_{\lbrace a \rbrace}(a)\) \(\operatorname{ein} \circ \operatorname{const}(x) = \operatorname{ein}(a) = a = f(x,0)\) \(\operatorname{id}_X(x) = x = f(x,1)\) Dass so für \(\operatorname{ein} \circ \operatorname{const} \cong \operatorname{id}_X\) nun eine Homotopie besteht ist klar, nur stimmt nach wie vor etwas bei der letzten Rechnung nicht. Warum muss die Stetigkeit von \(f\) gezeigt werden und wie gehe ich dafür korrekt vor, anbei die Topologie auf \(X\) ist bekannt? Schöne Grüße Alif


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-23 09:07

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Alif
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 10:55

Hallo Kezer, ich glaube, dass ich es jetzt fast habe, meine Rechnung zu \(\operatorname{ein} \circ \operatorname{const} \cong \operatorname{id}_X\) sieht ja schon ziemlich gut aus, auch wenn du es nicht kommentierst, nur bin ich an ein paar Punkten noch etwas unsicher. \quoteon(2022-06-23 09:07 - Kezer in Beitrag No. 3) Ja, du machst einen Fehler. Der Output ist ein Pfad und kein Element. Es ist $$f(x,1) = (1_*x : t \mapsto x(1 \cdot t) = x(t)) = x.$$ \quoteoff Müsste dann in meinem ersten Beitrag aber nicht \(f(-,1) = \operatorname{id}: X \rightarrow X, x \mapsto x\) statt \(f(-,1) = \operatorname{id}: X \rightarrow X, a \mapsto a\) stehen, schließlich ist \(a\) nur der fixe Punkt \(x(0) = a\)? \quoteon(2022-06-23 09:07 - Kezer in Beitrag No. 3) Was meinst du damit? \quoteoff Damit meine ich, dass \(\operatorname{id}_X(x) = x = f(x,1)\) für jede Funktion \(x\) gilt, nimmt man aber wieder meinen ersten Beitrag, dürfte es ja nur für den Punkt \(a\) und nicht jede Funktion \(x: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(x(0) = a\) gelten, womit die Rechnung dann \(\operatorname{id}_X(a) = a = f(a,1)\) lauten müsste. \quoteon(2022-06-23 09:07 - Kezer in Beitrag No. 3) Was ist denn eine Homotopie? \quoteoff Eine Homotopie ist eine stetige Abbildung zwischen zwei stetigen Abbildungen, die bestimmte Bedingungen erfüllt, geht man nach wikipedia. Wäre die Stetigkeit für \(f\) aber nicht schon gezeigt, wenn für die Funktionen \(x\), die im Raum \(X\) liegen, Stetigkeit gefordert wird? Melde dich bitte nochmal, denn dass ich am Anfang \(f(-,1) = \operatorname{id}: X \rightarrow X, a \mapsto a\) geschrieben habe, obwohl diese Funktion auf \(X\) und nicht auf \(\lbrace a \rbrace\) ist, ist schon sehr komisch. Schöne Grüße Alif


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-23 11:03

Kezer hat dich auf die Definition der Homotopie hingewiesen, um deine Frage zu beantworten, warum die Stetigkeit von $f$ gezeigt werden muss. Und nein, natürlich reicht es dazu nicht (bzw. hat nichts damit zu tun!), dass die Funktionen aus $X$ stetig sind. (Sind sie das?) Mache dir klar, dass das völlig unterschiedliche Aussagen sind. Ebenfalls hat dich Kezer darauf hingewiesen, dass wir eine Topologie auf $X$ benötigen. Diese hast du aber bisher nicht angegeben. Bitte hole das nach. Ebenfalls fehlt tatsächlich noch eine vollständige Definition von $X$. Aus welchen Funktionen genau besteht $X$?


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-23 11:04

\quoteon(2022-06-23 09:07 - Kezer in Beitrag No. 3) P.S.: Es gibt \id bereits als Befehl von LaTeX. \quoteoff Du hast das für dich selbst in deinem Profil definiert. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-23 11:42

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Alif
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 16:30

\quoteon(2022-06-23 11:42 - Kezer in Beitrag No. 7) Deshalb habe ich ja schon im ersten Beitrag erwähnt, dass die Notation $a$ schlecht ist. Es ist $f(-,1) = \id_X$. \quoteoff Damit ist dann die Homotopieäquivalenz schon Mal geklärt, denn damit gelten \(\operatorname{const} \circ \operatorname{ein} = \operatorname{id}_{\lbrace a \rbrace}\) und \(\operatorname{ein} \circ \operatorname{const} \cong \operatorname{id}_{X}\) nach meiner Rechnung, wenn man eben die Schreibung anpasst offensichtlich. \quoteon(2022-06-23 11:03 - Triceratops in Beitrag No. 5) Ebenfalls hat dich Kezer darauf hingewiesen, dass wir eine Topologie auf $X$ benötigen. Diese hast du aber bisher nicht angegeben. Bitte hole das nach. Ebenfalls fehlt tatsächlich noch eine vollständige Definition von $X$. Aus welchen Funktionen genau besteht $X$? \quoteoff In der Tat wird mir aber die Stetigkeit noch nicht klar, daher zunächst die gewünschte Definition \(X = \lbrace x: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \ stetig \ | x(0)=a \rbrace\), was allerdings konkret mit Topologie gemeint ist, ist mir nicht klar, vielleicht wird es aber mit der Definition klar. Ich hoffe mir kann nun etwas besser und genauer erklärt werden, wie die Stetigkeit von \(f\) zu zeigen ist, da das in meinen Unterlagen aber fehlt, kann es wohl nicht allzu schwer sein, danke für eine Antwort (bestenfalls mit Lösungsweg).


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Kezer
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-23 16:42

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Alif
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 21:43

Das habe ich inzwischen ja verstanden, mir wird nur leider nicht ganz klar, was die Topologie auf \(X\) ist, denn der Dozent hat scheinbar den Raum \(X\) definiert und im nächsten Schritt rechnet er schon mit \(f\), sprich er hat keine Topologie definiert oder er setzt die Stetigkeit von \(f\) voraus. Ich versuche jetzt einfach eine Topologie zu bestimmen, weiß aber nicht, ob es stimmt: Ist mit Topologie für \(X\) die euklidische Metrik gemeint?


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Triceratops
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-23 21:43

Gegenfrage: Was ist die euklidische Metrik auf $X$?


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Alif
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 22:25

\quoteon(2022-06-23 21:43 - Triceratops in Beitrag No. 11) Gegenfrage: Was ist die euklidische Metrik auf $X$? \quoteoff Da warst du jetzt so schnell, dass ich es gar nicht mehr gesehen habe. Und ich habe wohl nicht groß nachgedacht, denn auf \(X\) macht die euklidische Metrik natürlich wenig Sinn, da ja nicht klar wird, welchen Punkt von Pfad \(x_1\) und Pfad \(x_2\) ich nehmen soll, um den Abstand dieser Pfade \(d(x_1,x_2)\) zu bestimmen. Sollte mir weiter nicht klar werden, was die Topologie für \(X\) ist, muss ich wohl doch nochmal den Dozent fragen, allerdings würde ich das auch gerne alleine (mit eurer Anleitung) lösen, denn das bringt oft mehr. Ich hoffe mir kann jemand schlicht Mal erklären, was mit Topologie gemeint ist, da ich ja ohne diese die Stetigkeit weiterhin nicht zeigen kann.


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Triceratops
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-06-23 22:54

Eine sehr übliche Topologie auf $C(K)$ für kompakte Räume $K$ (und hier hat man $K = [0,1]$) ist die von der Supremumsnorm induzierte Topologie. Die Supremumsnorm ist hierbei durch $|x| := \sup_{k \in K} |x(k)|$ definiert. Die Metrik ist dann also $d(x,y) = |x-y|$, und eine Metrik induziert bekanntlich eine Topologie. Hier ist nun $X$ ein Teilraum von $C([0,1])$ und bekommt damit die Teilraumtopologie. Wie gesagt: ich weiß nicht, ob das die Topologie ist, die dein Dozent im Sinn hatte. Dazu müsstest du ihn fragen. Besser noch: er sollte allen in der Vorlesung die Topologie mitteilen. Ein topologischer Raum ist eben mehr als nur eine Menge. Wenn man nur die Menge hinschreibt (wie hier im Thread bisher), kann man überhaupt gar keine Stetigkeit (geschweige denn Homotopieäquivalenzen) untersuchen. Die Stetigkeit von $f : X \times [0,1] \to X$ lässt sich offenbar zurückführen auf die Stetigkeit von (ich nenne diese Abbildung einmal genauso) $f : C([0,1]) \times [0,1] \to C([0,1])$, $f(x,y)(t) := x(yt).$ Man kann die Stetigkeit von $f$ sicherlich per Hand nun nachrechnen (wie gesagt, mit der Topologie von oben). Aber man kann das auch etwas systematischer angehen und aus gut bekannten (jedenfalls mir bekannten; zu deinem Kenntnisstand kann ich nichts sagen) Resultaten aus der allgemeinen Topologie ableiten. Genauer gesagt können wir $f$ damit "synthetisieren". Erstens haben wir das Exponentialgesetz: Sei $Y$ ein lokalkompakter Hausdorffraum. Seien $X,Z$ irgendwelche Räume. Dann entsprechen die stetigen Abbildungen $a : X \times Y \to Z$ gerade den stetigen Abbildugen $a' : X \to C(Y,Z).$ Hierbei versieht man $C(Y,Z)$ mit der sog. kompakt-offenen Topologie. Die Zuordnung ist via $a(x,y)=a'(x)(y).$ Der springende Punkt ist, dass die Zuordnung der Abbildung trivial ist, aber man unter Benutzung der lokalen Kompaktheit von $Y$ zeigen muss, dass $a$ genau dann stetig ist, wenn es $a'$ ist. (Das Resultat gilt auch dann, wenn $Y$ lediglich kern-kompakt ist, aber das führt hier zu weit.) Das Exponentialgesetz impliziert insbesondere, dass die Auswertungsabbildung $\mathrm{ev} : C(Y,Z) \times Y \to Z$, $(h,y) \mapsto h(y)$ stetig ist. Für $Z = \IR$ schreibt man oftmals $C(Y) := C(Y,\IR)$. Zweitens: Wenn $Y$ ein kompakter Raum und $Z$ ein metrischer Raum ist, dann ist die kompakt-offene Topologie auf $C(Y,Z)$ gerade durch die sup-Metrik (s.o.) induziert, sodass wir speziell für $Y = [0,1]$ und $Z = \IR$ also unseren Raum $C([0,1])$ erhalten. Drittens: Die Abbildung $m : [0,1] \times [0,1] \to [0,1]$, $(y,t) \mapsto yt$ ist stetig (elementar). Kombinieren wir das: Wir starten mit der stetigen Auswertungsabbildung $\mathrm{ev} : C([0,1]) \times [0,1] \to \IR.$ Wir verketten diese mit der stetigen Abbildung $C([0,1]) \times m : C([0,1]) \times [0,1] \times [0,1] \to C([0,1]) \times [0,1]$ und erhalten eine stetige Abbildung $\mathrm{ev} \circ (C([0,1]) \times m) : C([0,1]) \times [0,1] \times [0,1] \to \IR.$ Das Exponentialgesetz liefert daher eine stetige Abbildung $f : C([0,1]) \times [0,1] \to C([0,1],\IR)$ mit $f(x,y)(t) = \bigl(\mathrm{ev} \circ (C([0,1]) \times m)\bigr)(x,y,t).$ Das berechnet sich gemäß der Definitionen zu: $f(x,y)(t) = \mathrm{ev}(x,y t) = x(y t).$ Wir haben also nicht die dadurch definierte Abbildung per Hand auf Stetigkeit untersucht, sondern haben direkt eine stetige Abbildung konstruiert, welche die richtige Abbildungsvorschrift besitzt.


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Triceratops
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-23 23:26

Hier noch der "manuelle" Nachweis der Stetigkeit von $f : C([0,1]) \times [0,1] \to C([0,1])$, $f(x,y)(t) = x(yt)$. Die Topologie auf $C([0,1])$, die von der Sup-Norm induziert wird, ist gerade die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz. Und bei metrischen Räumen ist Stetigkeit äquivalent zu Folgenstetigkeit, und bei Produkträumen lässt sich Konvergenz ja komponentenweise testen. Wir haben demnach folgendes zu zeigen: sei $x_n \to x$ eine gleichmäßig konvergente Folge in $C([0,1])$, und sei $y_n \to y$ in $[0,1]$. Zu zeigen ist, dass dann auch $f(x_n,y_n) \to f(x,y)$ gleichmäßig. Sei dazu $\varepsilon > 0$. Es gibt ein $N \in \IN$, sodass für alle $n \geq N$ gilt: $|x_n - x| \leq \varepsilon/2$. Per Definition heißt das $|x_n(t)-x(t)| \leq \varepsilon/2$ für alle $t \in [0,1]$. Nun ist $x$ gleichmäßig stetig, weil $[0,1]$ kompakt ist. Wähle damit ein $\delta > 0$, sodass für alle $t,t' \in [0,1]$ gilt: $|t-t'| \leq \delta \implies |x(t)-x(t')| \leq \varepsilon/2$. Es gibt ein $N' \in \IN$, sodass für alle $n \geq N'$ gilt: $|y_n - y| \leq \delta$. Dann gilt auch $|y_n t - y t| \leq \delta$ für alle $ t \in [0,1]$ und daher $|x(y_n t) - x(y t)| \leq \varepsilon/2.$ Die Dreiecksungleichung liefert uns für $n \geq N,N'$ nun die gewünschte Ungleichung (für alle $t \in [0,1]$) $|f(x_n,y_n)(t) - f(x,y)(t)| = |x_n(y_n t) - x(y t)| \leq |x_n(y_n t) - x(y_n t)| + |x(y_n t) - x(y t)| \leq \varepsilon.$


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Alif
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24 12:51

Ich habe inzwischen den Dozenten gefragt, welche Topologie ich zu nehmen habe und auf diesem Funktionenraum \(X\) ist es die Kompakt-Offen-Topologie. Somit scheint es mir, dass der Beweis der Stetigkeit von \(f\) wirklich nicht sonderlich kompliziert sein kann, gelöst bekomme ich es aber auch nicht. Daher hoffe ich, dass mir jemand nun nochmal eine konkrete Anleitung geben kann, in der Hoffnung, dass ich dann fehlende Details nachrechnen kann.


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Triceratops
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-06-24 12:53

Ich finde es nicht gerade respektvoll, dass du nicht auf meine Antworten eingehst. Ich habe zwei Beweise geliefert und du fragst nach einem Beweis. Ich werde diesen Thread daher nun ignorieren.


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Alif
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24 14:19

\quoteon(2022-06-24 12:53 - Triceratops in Beitrag No. 16) Ich finde es nicht gerade respektvoll, dass du nicht auf meine Antworten eingehst. Ich habe zwei Beweise geliefert und du fragst nach einem Beweis. Ich werde diesen Thread daher nun ignorieren. \quoteoff Entschuldigung, das du mich ignorierst, wollte ich nicht. Ich finde es aber auch schlichtweg unfreundlich mich deshalb gleich als respektlos zu bezeichnen, auch wenn ich sicher nicht immer respektvoll bin. Ich hielt es in diesem Moment einfach für unnötig auf deinen letzten Eintrag einzugehen, da ich nur kurz Zeit hatte, und dein Beweis ja auf einer anderen Topologie aufgebaut sind, wenn ich das richtig durchschaue. Um nun, da ich mehr Zeit habe darauf einzugehen. Bei deinem ersten Beweisvorschlag verstehe ich ehrlich gesagt nur Bahnhof, ich weiß aber auch nicht, ob es überhaupt etwas bringt, wenn du ihn mir nochmal erklärst. Dein zweiter Beweis in Beitrag 14 hingegen ist klar, ich weiß nur nicht, was ich zu ändern habe, wenn ich nun eben die Kompakt-Offen-Topologie nehme. Wäre schön, wenn du den Thread nicht ignorierst und mir bitte erklärst, was in jenem Beweis sich dann verändert.


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nzimme10
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-06-24 15:02

Hallo, bevor du solche Behauptungen aufstellst und Triceratops Beiträge diskreditierst, solltest du dir die Begriffe genauer ansehen. Die von Triceratops angegebene "Topologie der gleichmäßigen Konvergenz" stimmt in diesem Fall mit der kompakt-offenen Topologie überein. Das hat er dir in seinem ersten Beweis sogar ausführlich erklärt! Wenn sich Leute so viel Mühe geben bei einer Antwort, dann wäre es wünschenswert, wenn du sie wenigstens auch ausführlich durchliest. Es ist nicht schlimm, wenn du dabei nicht alles verstehst, aber augenscheinlich hast du sie nicht besonders aufmerksam studiert. LG Nico


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