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Kein bestimmter Bereich Ungewöhnliches Additionstheorem
easymathematics
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  Themenstart: 2022-06-22 21:38

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\) Hallo zusammen, ich bin neulich auf youtube auf Folgendes gestoßen. Definiere $$ \operatorname{cas}(x) := \cos(x) + \sin(x) $$ Dann: $$ \operatorname{cas}(x+y) = \frac{1}{2} ( \operatorname{cas}(x)\operatorname{cas}(y) + \operatorname{cas}(x)\operatorname{cas}(-y) + \operatorname{cas}(-x)\operatorname{cas}(y) - \operatorname{cas}(-x)\operatorname{cas}(-y) ) $$ Das lässt sich leicht zeigen. Da ich Additionstheoreme generell spannend finde, habe ich mich direkt gefragt: $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = f( \operatorname{cas}(x_{k}), \operatorname{cas}(-x_{k}) )$$ Unter Verwendung der Additionstheoreme für $ \sin $ und $\cos $ $$ sin( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \sum_{ X \subseteq N, \left\lvert X \right\rvert odd} (-1)^{\frac{\left\lvert X \right\rvert-1}{2}} \prod_{k \notin X} \cos(x_k) \prod_{k \in X} \sin(x_k) $$ $$ cos( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \sum_{ X \subseteq N, \left\lvert X \right\rvert even} (-1)^{\frac{\left\lvert X \right\rvert}{2}} \prod_{k \notin X} \cos(x_k) \prod_{k \in X} \sin(x_k) $$ erhält man dann mit $N := \lbrace 1,2,3,...,n \rbrace $ und $k$ läuft von 1 bis n. $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \sum_{ X \subseteq N} (-1)^{ \lfloor \frac{\left\lvert X \right\rvert}{2} \rfloor} \prod_{k \notin X} \cos(x_k) \prod_{k \in X} \sin(x_k)$$ Per Definition von cas(x) haben wir: $$ \sin(x) = \frac{\operatorname{cas}(x)-\operatorname{cas}(-x)}{2} $$ $$ \cos(x) = \frac{\operatorname{cas}(x)+\operatorname{cas}(-x)}{2} $$ Also: $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \sum_{ X \subseteq N} (-1)^{ \lfloor \frac{\left\lvert X \right\rvert}{2} \rfloor} \prod_{k \notin X} \left( \frac{\operatorname{cas}(x_k)+\operatorname{cas}(-x_k)}{2} \right) \prod_{k \in X} \left( \frac{\operatorname{cas}(x)-\operatorname{cas}(-x)}{2} \right) $$ $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \frac{1}{2^n} \sum_{ X \subseteq N} (-1)^{ \lfloor \frac{\left\lvert X \right\rvert}{2} \rfloor} \prod_{k \notin X} \left( \operatorname{cas}(x_k)+\operatorname{cas}(-x_k) \right) \prod_{k \in X} \left( \operatorname{cas}(x)-\operatorname{cas}(-x) \right) $$ $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \frac{1}{2^n} \sum_{ X \subseteq N} (-1)^{ \lfloor \frac{\left\lvert X \right\rvert}{2} \rfloor} \prod_{k=1}^{n} \left( \operatorname{cas}(x_k) - e_{X}(k) \operatorname{cas}(-x_k) \right) $$ mit $e_{X}(k) := \begin{cases} 1, & \text{if $k \in X $ } \\ -1, & \text{if $k \notin X $} \end{cases} $ Jetzt würde ich das gerne ausmultiplizieren, um etwas in der Form $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \frac{1}{2^n} \sum_{ X \subseteq N} (-1)^{ \lfloor \frac{\left\lvert X \right\rvert}{2} \rfloor} \prod_{\text{Bedingung}} \operatorname{cas}(x_k) \prod_{\text{Bedingung}} \operatorname{cas}(-x_k) $$ Hat jemand eine Idee? :) Zweck des Ganzen: Spass an der Sache, hat keinen besonderen Hintergrund. LG, easymathematics\(\endgroup\)


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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-22 22:50

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) $\newcommand{\cas}{\operatorname{cas}}$ Hallo, ich habe mich mit Deinem Ansatz nicht weiter beschäftigt sondern folgendes überlegt: Es ist $$\cas(x) = \Re(\sqrt 2\exp(ix - i \frac \pi 4))$$ und $$ \cas(x)-i\cas(-x) = \sqrt 2\exp(ix - i \frac \pi 4).$$ Damit ergibt sich $$ \cas(\sum_{k=1}^n x_k) = \frac 1{{\sqrt 2}^{n-1}}\Re\left(\exp((n-1)i\frac \pi4) \prod_{k=1}^n(\cas(x_k)-i\cas(-x_k))\right).$$ Je nach Restklasse von $n$ modulo $8$ kann man dass dann noch vereinfachen, aber da darfst Du Dich austoben.😉\(\endgroup\)


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easymathematics
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22 23:28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\) Vielen Dank für Deinen Einwand. Einen ähnlichen Weg bin ich auch schon gegangen, es gefällt mir aber noch nicht, da ich das Produkt loswerden möchte. Ich habe jetzt die Darstellung, die ich möchte, auch wenn sie nicht ganz so "hübsch" ist. Schreibt man $ cas(x_k) - e_X (k) cas(-x_k) = \sum_{j=0}^{1} a_j cas( (-1)^j x_k ) $ ergibt sich mit dem Distributivgesetz $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \frac{1}{2^n} \sum_{ X \subseteq N} (-1)^{ \lfloor \frac{\left\lvert X \right\rvert}{2} \rfloor} \sum_{t=1}^{n} \sum_{j_t = 0}^{1} \prod_{k=1}^{n} b_{j_k} \operatorname{cas}( (-1)^{j_k} x_{k}) $$ wobei $$ b_{j_k} = \begin{cases} 1, & \text{if $j_k = 0 $ } \\ -e_X (k), & \text{if $j_k = 1 $} \end{cases} $$ Naja, es hat zumindest die Form, die ich möchte. :D\(\endgroup\)


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-23 12:53

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-06-22 23:28 - easymathematics in Beitrag No. 2) Vielen Dank für Deinen Einwand. Einen ähnlichen Weg bin ich auch schon gegangen, es gefällt mir aber noch nicht, da ich das Produkt loswerden möchte. \quoteoff Ich hatte ja geschrieben, dass man das noch vereinfachen kann, war mir nur zu mühsam, das aufzuschreiben.🙃 \quoteon Ich habe jetzt die Darstellung, die ich möchte, auch wenn sie nicht ganz so "hübsch" ist. Schreibt man $ cas(x_k) - e_X (k) cas(-x_k) = \sum_{j=0}^{1} a_j cas( (-1)^j x_k ) $ ergibt sich mit dem Distributivgesetz $$ \operatorname{cas}( \sum_{k=1}^{n} x_k ) = \frac{1}{2^n} \sum_{ X \subseteq N} (-1)^{ \lfloor \frac{\left\lvert X \right\rvert}{2} \rfloor} \sum_{t=1}^{n} \sum_{j_t = 0}^{1} \prod_{k=1}^{n} b_{j_k} \operatorname{cas}( (-1)^{j_k} x_{k}) $$ wobei $$ b_{j_k} = \begin{cases} 1, & \text{if $j_k = 0 $ } \\ -e_X (k), & \text{if $j_k = 1 $} \end{cases} $$ \quoteoff Das stimmt nicht ganz: Das Summenzeichen $\sum_{t=1}^n\sum_{j_t=0}^1$ müsste durch $\sum_{j_1=0}^1\sum_{j_2=0}^1\ldots \sum_{j_n=0}^1$ ersetzt werden. Im Prinzip wird hier also nicht nur über eine Teilmenge $X\subseteq N:=\{1,\ldots, n\}$ iteriert, sondern auch noch über eine zweite, sodass sich insgesamt $2^{2n}$ Summanden ergeben. Mit dem Ansatz aus No.1 reichen $2^n$ Summanden (für ungerade $n$ sogar noch weniger). Sei $[x\in X]:= 1,$ falls $x\in X$ und $[x\in X]:=0$ sonst. Es ist dann $\newcommand{\cas}{\operatorname{cas}}$ $$ \prod_{k=1}^n(\cas(x_k)-i\cas(-x_k)) = \sum_{X\subseteq N}(-i)^{|X|}\prod_{k=1}^n\cas((-1)^{[k\in X]}x_k).$$ Für $n\equiv 0 \pmod 8$ ist $\exp((n-1)i\frac \pi4) = \frac {1-i}{\sqrt 2}$. Somit ist $$\begin{align*} \cas(\sum_{k=1}^n x_k) &= \frac 1{{\sqrt 2}^{n-1}}\Re\left(\exp((n-1)i\frac \pi4) \prod_{k=1}^n(\cas(x_k)-i\cas(-x_k))\right)\\ &= \frac 1{\sqrt 2^n} \left(\sum_{\substack{X\subseteq N \\ |X|\equiv 0\pmod 2}}(-1)^{|X|/2}\prod_{k=1}^n\cas((-1)^{[k\in X]}x_k) + \sum_{\substack{X\subseteq N \\ |X|\equiv 1\pmod 2}}(-1)^{(|X|+1)/2}\prod_{k=1}^n\cas((-1)^{[k\in X]}x_k)\right)\\ &= \frac 1{\sqrt 2^n} \sum_{X\subseteq N}(-1)^{\left\lceil|X|/2\right\rceil}\prod_{k=1}^n\cas((-1)^{[k\in X]}x_k) \end{align*}$$ Für andere Reste von $n$ modulo $8$ geht es analog, nur ändern sich die Vorzeichen ein wenig. Vielleicht kann man das aber noch mit irgendwelchen Rundungstricks zusammenfassen.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 16:23

Danke für den Hinweis.


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