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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Besonderes Dreieck in einer triangulierten Kategorie und modulo 4 Beziehungen
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Universität/Hochschule J Besonderes Dreieck in einer triangulierten Kategorie und modulo 4 Beziehungen
Kezer
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  Themenstart: 2022-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Hi, hat jemand vielleicht einen Tipp für folgende (ziemlich coole) Aufgabe? Sei $n \geq 1$ and $E \neq 0$ ein Objekt in einer triangulierten Kategorie $\mathscr{T}$, sodass $$E \xrightarrow{n \cdot \id_E} E \xrightarrow{n \cdot \id_E} E \xrightarrow{h} \Sigma E$$ ein ausgezeichnetes Dreieck ist. Dann ist $n \equiv 2 \pmod 4$ und $4 \cdot \id_E = 0$. Dass zwei aufeinanderfolgende Abbildungen zu $0$ verketten, hat mir nicht geholfen. Versuchen Abbildungen zwischen Dreiecken über (T4) zu erhalten, gibt mir auch keine Information. Und ich sehe auch nicht, wie mir die exakten Sequenzen der Hom-Gruppen für ausgezeichnete Dreiecke helfen kann.\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-23

Ich habe hier https://www.math.uni-bonn.de/people/schwede/nomodel-InvMath.pdf eine Lösung gefunden (Remark 12). Suchbegriff war: triangulated category exercise "n is odd". Wenn du knobeln möchtest, gebe ich mal nur den Tipp, zwischen den Dreiecken $E \xrightarrow{n} E \xrightarrow{n} E \xrightarrow{h} \Sigma E$ $E \xrightarrow{n} E \xrightarrow{h} \Sigma E \xrightarrow{-n} \Sigma E$ einen Isomorphismus $\psi : E \to \Sigma E$ zu finden. Dann gilt $2n \psi = 0$ (wieso?) und daher $2n \cdot \mathrm{id}_E = 0$ auf $E$. Jetzt wende die Exaktheit auf $2 \cdot \mathrm{id}_E$ an.


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Kezer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Oh wow, Schwede stellt echt gerne Hausaufgaben zu Resultaten aus seinen Papers 😁 Danke dir! Der Hinweis war gut, ich habe damit essentiell den selben Beweis wie in dem verlinkten Text vervollständigen können.


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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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