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  Spin-Raum-Drehung |
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Muon
Aktiv 
Dabei seit: 17.10.2021
Mitteilungen: 91
 |  Themenstart: 2022-06-25
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Hi,
leider habe ich ein Problem mit dem Aufgabenteil b
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-06-25_um_18.57.36.png
kann ich die Formel wie folgt schreiben?
bra(\psi^') \sigma^> ket(\psi^')=bra(\psi^') \sigma_x ket(\psi^') + bra(\psi^') \sigma_y ket(\psi^')+bra(\psi^') \sigma_z ket(\psi^')
Falls ja, jetzt bin ich mir nur unsicher, wie ket(\psi) und ket(\psi^') aussehen.
Gehe davon aus, dass ich die aus dem Aufgabenteil a übernehmen soll
Ist dann ket(\psi)=(\alpha;\beta) und ket(\psi^')=e^(-i/2*\alpha^>*\sigma^>)(\alpha;\beta)
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Muon
Aktiv 
Dabei seit: 17.10.2021
Mitteilungen: 91
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Ich habe jetzt einmal angefangen, den unteren Teil der Aufgabe zu lösen also
bra(\psi) (\sigma)_i^' ket(\psi) , mit ket(\psi)=(\alpha_\textuparrow;\alpha_\textdownarrow)
m_x=bra(\psi) (\sigma)_x^' ket(\psi)=(\alpha_\textuparrow , \alpha_\textdownarrow)*(0,1;1,0)*(\alpha_\textuparrow;\alpha_\textdownarrow)=\alpha_\textuparrow*\alpha_\textdownarrow+\alpha_\textdownarrow*\alpha_\textuparrow=2*\alpha_\textuparrow*\alpha_\textdownarrow
m_y=bra(\psi) (\sigma)_y^' ket(\psi)=(\alpha_\textuparrow , \alpha_\textdownarrow)*(0,-i;i,0)*(\alpha_\textuparrow;\alpha_\textdownarrow)=-i*\alpha_\textdownarrow*\alpha_\textuparrow+i*\alpha\textdownarrow*\alpha_\textuparrow=0
m_z=bra(\psi) (\sigma)_z^' ket(\psi)=(\alpha_\textuparrow , \alpha_\textdownarrow)*(1,0;0,-1)*(\alpha_\textuparrow;\alpha_\textdownarrow)=\alpha_\textuparrow^2-\alpha_\textdownarrow^2
m^>=bra(\psi) \sigma^> ket(\psi)=(2*\alpha_\textuparrow*\alpha_\textdownarrow;0;\alpha_\textuparrow^2-\alpha_\textdownarrow^2)
Falls das richtig sein sollte, müsste ich ja nur noch m^>^'=bra(\psi^') \sigma ket(\psi^') ausrechnen.
Ich habe mal mit der \sigma_x angefangen, da ich im Aufgabenteil 2a schon e^(-i/2*\alpha^>*\sigma^>_x) ausgerechnet habe, was (cos(\alpha/2),-i*sin(\alpha/2);-i*sin(\alpha/2),cos(\alpha/2)) ergibt
m_x=bra(\psi)^' (\sigma)_x^' ket(\psi^')=(\alpha_\textuparrow , \alpha_\textdownarrow)*(0,1;1,0)*(cos(\alpha/2),-i*sin(\alpha/2);-i*sin(\alpha/2),cos(\alpha/2))*(\alpha_\textuparrow;\alpha_\textdownarrow)=?
Stimmt das so?
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Muon
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27
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Hi,
ich habe es jetzt geschafft, die Aufgaben von a bis c zu lösen, nun habe ich aber ein Problem bei der d
Das Hadamard Gatter lautet ja H=(1/sqrt(2),1/sqrt(2);1/sqrt(2),-1/sqrt(2))
Kann ich dann folgendes Schreiben:
e^(i*\phi2)*D_\alpha^(1/2)=H
Das ich also das Hadamard Gatter erhalte, wenn ich D_\alpha^(1/2) um den Winkel \alpha Drehe und dann noch um die Phase \phi2 verschiebe?
Kann ich dann \phi2 durch folgende Rechnung berechnen?
e^(i*\phi2)* det(D_\alpha^(1/2)) = det(H)
e^(i*\phi2)*1=-1
daraus folgt das \phi2=pi sein muss
Oder was ist genau damit gemeint, dass man \phi2 aus der Determinante bestimmen soll?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3960
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-27
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\quoteon(2022-06-27 19:01 - Muon in Beitrag No. 2)
e^(i*\phi2)* det(D_\alpha^(1/2)) = det(H)
\quoteoff
Die Determinante ist nicht linear, d.h. es gilt nicht $\det(\lambda A)=\lambda\det(A)$.
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Muon
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Dabei seit: 17.10.2021
Mitteilungen: 91
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27
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Danke zippy für den Hinweis, das hatte ich komplett vergessen.
Ich habe die Rechnung noch einmal vorgenommen und habe jetzt die Phase e^(i*\phi2) in die Matrix geschrieben.
D_\alpha^(1/2)=(cos(\alpha/2),-i*sin(\alpha/2);-i*sin(\alpha/2),cos(\alpha/2))
e^(i*\phi2)*D_\alpha^(1/2)= (e^(i*\phi2)*cos(\alpha/2),-e^(i*\phi2)*i*sin(\alpha/2);-e^(i*\phi2)*i*sin(\alpha/2),e^(i*\phi2)*cos(\alpha/2))
e^(i*\phi2)*D_\alpha^(1/2)=H
det(e^(i*\phi2)*D_\alpha^(1/2))=det(H)
e^(2*i*\phi2)=-1
Damit muss \phi2=pi/2 sein
Stimmt das so?
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zippy
Senior
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Mitteilungen: 3960
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-27
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\quoteon(2022-06-27 19:28 - Muon in Beitrag No. 4)
Damit muss \phi2=pi/2 sein
\quoteoff
Ja, das folgt auch aus deinen Überlegungen aus Beitrag Nr. 2, wenn du $\det\left(e^{i\phi}A\right)=e^{i2\phi}\det(A)$ beachtest.
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Muon
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Mitteilungen: 91
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28
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Vielen Dank für deine Hilfe zippy 👍
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Muon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Muon hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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