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 Spannung zwischen zwei Punkten (RLC-Kreis) |
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thomas_zenk
Junior 
Dabei seit: 10.05.2022
Mitteilungen: 10
Wohnort: Deutschland, Düsseldorf
 |  Themenstart: 2022-06-25
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\(\textbf{Aufgabe:}\)
Hallo, ich habe folgenden Wechselstromkreis gegeben, mit dem man die Induktivität \(L\) durch Messung der Spannung zwischen den Punkten \(P\) und \(Q\) bestimmen kann.
Gesucht ist eine Gleichung für \(U_{PQ}(\omega)\).
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55579_skizze_ac.jpg
\(\textbf{Mein Lösungsansatz:}\)
Die Impedanzen der einzelnen Elemente sind
\[\begin{align*}
Z_{R_1} &= R_1, & Z_{R_2} &= R_2, \\
Z_{L} &= i \omega L, & Z_{C} &= \frac{1}{i \omega C}
\end{align*}
\]
Für den Zweig, durch den \(I_1\) fließt, erhalte ich somit
\[Z_1 = Z_{R_1} + Z_L = R_1 + i \omega L\]
Analog für die dazu parallel geschalteten Kondensator \(C\) und \(R_2\):
\[Z_2 = Z_{R_2} + Z_C = R_2 + \frac{1}{i \omega C}\]
Dann gilt doch allgemein mit den Impedanzen \(V = ZI\), also insbesondere
\[\begin{align*}
& I_1 = \frac{U}{Z_1} = \frac{U(\omega)}{R_1 + i \omega L} \\
& I_2 = \frac{U}{Z_2} = \frac{U(\omega)}{R_2 + \frac{1}{i \omega C}}
\end{align*}
\]
In der Masche, die \(R_1\) und \(L\) einschließt, liegt das obere Drahtstück auf dem Potential \(U\). Über \(R_1\) ist der Spannungsabfall
\[Z_{R_1} I_1 = R_1 I_1\]
Analog für die äußere Masche, dort ist der Spannungsabfall
\[Z_C I_2 = \frac{I_2}{i \omega C}\]
Dann ist das Potential an dem Punkt \(P\) bzw. \(Q\) doch
\[\begin{align*}
& U_P = U - R_1 I_1 = U \left( 1 - \frac{R_1}{R_1 + i \omega L} \right) \\
& U_Q = U - \frac{I_2}{i \omega C} = U \left(1 - \frac{1}{i R_2 \omega C + 1} \right)
\end{align*}
\]
Und somit
\[ \begin{align*}
U_{PQ}(\omega) &= U_P - U_Q \\
&= U(\omega) \left( \frac{1}{i R_2 \omega C + 1} - \frac{R_1}{R_1 + i \omega L} \right) \\
&= U(\omega) \left( \frac{i \omega(L - R_1 R_2 C)}{(i R_2 \omega C + 1)(R_1 + i \omega L)} \right)
\end{align*}
\]
Ich bin mir jedoch unsicher, ob das alles so stimmt. Da wir das Thema momentan angefangen haben, kann ich intuitiv nicht wirklich sagen, ob das so stimmen könnte oder nicht. Könnte mir jemand vielleicht auf die Sprünge helfen?
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Berufspenner
Senior 
Dabei seit: 13.11.2003
Mitteilungen: 3293
Wohnort: Hamburg, z.Zt. Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-27
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Moin
Dein finales Ergebnis für die Querspannung sieht gut aus.
Ich denke allerdings, dass sich der Lösungsweg sehr stark verkürzen lässt. Schau dir dazu einmal die Wiki-Artikel zur Wheatstonesche Messbrücke und Wechselspannungsbrücke an. Über die Spannungsteilerregel kannst du die Spannung über L und R2 bestimmen. Sollte die Messbrücke nicht abgeglichen sein, dann gilt für die untere Masche $U_L = U_{R2} + U_{PQ}$ bzw. $U_{PQ} = U_L - U_{R2}$.
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
hightech
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Mitteilungen: 110
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-27
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Hallo thomas_zenk,
wenn ich den Aufgabentext richtig lese soll die Induktivität L bestimmt werden. L ist also das Messobjekt und soll durch Messung der Spannung \(\large U_{P,Q}\) ermittelt werden, wenn gegeben ist
- die gemessenen Spannung \(\large U_{P,Q}\)
- der Spannung \(\large U(ω)\)
- \(\large R_{1}\)
- \(\large C\) und
- \(\large R_{2}\)
Denn wenn L bereits gegeben ist, wie in Deinen Gleichungen ganz unten, dann macht es keinen Sinn die Spannung \(\large U_{P,Q}\) zu messen. Wozu?
Wenn meine Vermutung zutrifft, dass L mit der gemessenen Spannung \(\large U_{P,Q}\) und R1 , R2 und C zu bestimmen ist, dann muss eine Gleichung für L entwickelt werden. Ist die Aufgabe so zu verstehen?
Gruß von hightech
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hightech
Aktiv 
Dabei seit: 30.03.2017
Mitteilungen: 110
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-28
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Hallo,
wenn die Annahme stimmt, dass die Induktivität L wie oben beschrieben zu bestimmen ist, dann lässt sich L wie folgt berechnen:
1) Spannungsteilersatz auf R1 und L anwenden
2) Spannungsteilersatz auf C und R2 anwenden
3) Maschengleichung UPQ + UR2 - UL aufstellen
Dieses Gleichungssystem nach L auflösen.
Als Ergebnis erhält man folgende Gleichung für L:
\(\LARGE L = \frac{[\frac{U_{P,Q}}{U(ω)}*R_{1}*(1+ω^{2}C^{2}R_{2}^{2})^{2}-ω^{2}C^{2}R_{2}^{2}R_{1}]-j[ωCR_{2}R_{1}]}{-ω^{2}CR_{2}+j[ω^{3}C^{2}R_{2}^{2}+ω*(1+ω^{2}C^{2}R_{2}^{2})^{2}]}\)
Ich konnte die Gleichung nur dahingehend überprüfen, ob die Einheiten stimmen und als Ergebnis die Einheit \(\large \frac{Vs}{A} = H\) herauskommt. Das stimmt jedenfalls. Ob die mit dieser Gleichung berechneten Werte für L auch plausibel sind, müsste anhand der Messwerte von UPQ und den Werten U(w) , R1 , R2 und C, überprüft werden.
Gruß von hightech
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