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Mathematik » Geometrie » Winkel bestimmen
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Universität/Hochschule Winkel bestimmen
Math8756785
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  Themenstart: 2022-06-27

Gegeben sind alpha und beta, gesucht ist gamma. Wie kann ich das lösen? Vielen Dank :) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55699_Bildschirmfoto_2022-06-27_um_12.16.03.png


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dietmar0609
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-27

Willkommen auf dem Matheplaneten, Math8756785 Du weißt sicherlich , dass wir keine fertigen Lösungen anbieten und etwas Eigeninitiative erwarten bevor wir helfen. Welche Gedanken hast du dir schon gemacht ? Zunächst empfehle ich dir, eine Zeichnung anzufertigen, in der das Dreieck kein gleichseitiges Dreieck ist. Dann solltest du mit den Winkeln etwas rumspielen. Gruß Dietmar


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Math8756785
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27

Danke dir, ich habe es schon mehrer Stunden versucht. Ich habe ein GeoGebra-Applet gebaut um mir die Situation klar zu machen. Viele Winkel kann man über Scheitelwinkel rekonstruieren und darüber dass die Innenwinkelsumme 180Grad ist. Aber das hilft mir nicht wirklich weiter :/ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55699_Bildschirmfoto_2022-06-27_um_13.18.10.png


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Wario
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-27

\quoteon(2022-06-27 12:27 - Math8756785 im Themenstart) Gegeben sind alpha und beta, gesucht ist gamma. Wie kann ich das lösen? \quoteoff Stichwort "Winkel an geschnittenen Parallelen"; oder einfacher: schreibe Dir ein 'Z' hin und überlege, was für die Winkel gilt. PS: nenne diesen gesuchten Winkel, um Verwirrungen zu vermeiden, möglichst nicht '$\gamma$'! '$\gamma$' ist normalerweise der Innenwinkel an der Ecke $C$. PPS: Die blau eingezeichnete Linie ist wohl eh nur beim gleichseitigen Dreieck eine Parallele zur Seite $c$. Naja, Deine Aufgabe hier solltest Du mit dem Gesagten dann lösen können. Allerdings solltest Du Angaben wie "gleichseitiges Dreieck" nicht einfach verschweigen, sofern das die Aufgabe beinhaltet. Ganz einfach immer die vollständige Aufgabe 1:1 angeben.


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Wario
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-27

Ich würde jetzt gerne erstmal die originale und vollständige Aufgabenstellung, unverfälscht und 1:1, wissen. Sonst lohnt es sich nicht, sich da reinzudenken. Ist es ein 'gleichseitiges Dreieck' oder ein 'allgemeines Dreieck' oder... Die Ausdrücke, die für das 'allgemeine Dreieck' an den Schnittpunkten der Winkelhalbierenden mit den gegenüberliegenden Seiten der halbierten Winkel entstehen, sind nicht unbedingt so schön (sofern ich mich nicht verrechnet habe).


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dietmar0609
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-27

ich nehme an, dass es ein beliebiges Dreieck ist, das sieht in etwa so aus: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/18894_mp.png


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Wario
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-27

\quoteon(2022-06-27 15:16 - dietmar0609 in Beitrag No. 5) ich nehme an, dass es ein beliebiges Dreieck ist, das sieht in etwa so aus: \quoteoff In dem Fall könnte man evtl. so rangehen, dass man sich zunächst die Winkel am Inkreismittelpunkt überlegt (da für diese schöne Ausdrücke entstehen):
Satz: Im Dreieck ist der Schnittwinkel zweier Winkelhalbierender halb so groß wie der Supplement- bzw. Außenwinkel der nicht anliegenden Ecke. Demnach hat man am Inkreismittelpunkt die Winkel $ \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] \def\bew{0} % Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{3.5} \pgfmathsetmacro{\b}{7} \pgfmathsetmacro{\c}{7.5} \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt( \s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c) )} \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % % Inkreisradius und -position \pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} \pgfmathsetmacro{\AI}{\c*sin(0.5*\Beta)/cos(0.5*\Gamma)} \pgfmathsetmacro{\AI}{\b*sin(0.5*\Gamma)/cos(0.5*\Beta)} \pgfmathsetmacro{\BI}{\a*sin(0.5*\Gamma)/cos(0.5*\Alpha)} \pgfmathsetmacro{\BI}{\c*sin(0.5*\Alpha)/cos(0.5*\Gamma)} \pgfmathsetmacro{\CI}{\a*sin(0.5*\Beta)/cos(0.5*\Alpha)} \pgfmathsetmacro{\CI}{\b*sin(0.5*\Alpha)/cos(0.5*\Beta)} % Winkelhalbierende \pgfmathsetmacro{\wa}{2*\F/(\a*cos(0.5*(\Beta-\Gamma)))} \pgfmathsetmacro{\wb}{2*\F/(\b*cos(0.5*(\Gamma-\Alpha)))} \pgfmathsetmacro{\wc}{2*\F/(\c*cos(0.5*(\Alpha-\Beta)))} % Dreieckskonstruktion \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Winkelhalbierende \ifnum\bew=1 \pgfmathsetlengthmacro\w{4mm} \else \pgfmathsetlengthmacro\w{7mm} \fi \coordinate[label={[above=\w]:$I$}] (I) at (0.5*\Alpha:\AI); \draw[] (A) -- +(0.5*\Alpha:\wa) coordinate[label=45:$W_a$](Wa); \draw[] (B) -- +(180-0.5*\Beta:\wb) coordinate[label=135:$W_b$](Wb); \draw[] (C) -- +(-\Beta-0.5*\Gamma:\wc) coordinate[label=-90:$W_c$](Wc); % Inkreis \draw[] (I) circle[radius=\r]; % Außenwinkel \draw[] (A) -- +(-8mm,0) coordinate[](As); \draw[] (B) -- +(8mm,0) coordinate[](Bs); \draw[] (C) -- +(\Alpha:8mm) coordinate[](Cs); \draw pic [draw, angle radius=6mm, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\alpha'$", double, ] {angle =C--A--As}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\beta'$", double, ] {angle =Bs--B--C}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\gamma'$", double, ] {angle =B--C--Cs}; % Winkel \draw pic [draw, angle radius=11mm, angle eccentricity=1.3, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\alpha2$", ] {angle =I--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=13mm, angle eccentricity=1.3, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\alpha2$", ] {angle =B--A--I}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\beta2$", ] {angle =C--B--I}; \draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\beta2$", ] {angle =I--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.6, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\gamma2$", ] {angle =A--C--I}; \draw pic [draw, angle radius=3.5mm, angle eccentricity=1.55, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\gamma2$", ] {angle =I--C--B}; %\def\bew{0} \ifnum\bew=1 \tikzset{ bew/.style={} } \def\x{x} \def\y{y} \def\z{z} \else \def\x{\tfrac{\gamma'}{2}} \def\y{\tfrac{\beta'}{2}} \def\z{\tfrac{\alpha'}{2}} \tikzset{ bew/.style={red, angle radius=7.5mm, angle eccentricity=0.7, } } \fi % Winkel an I \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\x$", bew ] {angle =Wb--I--A}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\y$", bew ] {angle =A--I--Wc}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\z$", bew ] {angle =Wc--I--B}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\x$", bew ] {angle =B--I--Wa}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\y$", bew ] {angle =Wa--I--C}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\z$", bew ] {angle =C--I--Wb}; %% Punkte \foreach \P in {Wa, Wb, Wc, I} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} $ wobei $\boxed{ \alpha' =180^\circ -\alpha,~~~ \beta'=180^\circ -\beta,~~~ \gamma' =180^\circ -\gamma }.$ \showon
Beweis. $ \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] \def\bew{1} % Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{3.5} \pgfmathsetmacro{\b}{7} \pgfmathsetmacro{\c}{7.5} \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt( \s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c) )} \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % % Inkreisradius und -position \pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} \pgfmathsetmacro{\AI}{\c*sin(0.5*\Beta)/cos(0.5*\Gamma)} \pgfmathsetmacro{\AI}{\b*sin(0.5*\Gamma)/cos(0.5*\Beta)} \pgfmathsetmacro{\BI}{\a*sin(0.5*\Gamma)/cos(0.5*\Alpha)} \pgfmathsetmacro{\BI}{\c*sin(0.5*\Alpha)/cos(0.5*\Gamma)} \pgfmathsetmacro{\CI}{\a*sin(0.5*\Beta)/cos(0.5*\Alpha)} \pgfmathsetmacro{\CI}{\b*sin(0.5*\Alpha)/cos(0.5*\Beta)} % Winkelhalbierende \pgfmathsetmacro{\wa}{2*\F/(\a*cos(0.5*(\Beta-\Gamma)))} \pgfmathsetmacro{\wb}{2*\F/(\b*cos(0.5*(\Gamma-\Alpha)))} \pgfmathsetmacro{\wc}{2*\F/(\c*cos(0.5*(\Alpha-\Beta)))} % Dreieckskonstruktion \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[Dreieck, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Winkelhalbierende \ifnum\bew=1 \pgfmathsetlengthmacro\w{4mm} \else \pgfmathsetlengthmacro\w{7mm} \fi \coordinate[label={[above=\w]:$I$}] (I) at (0.5*\Alpha:\AI); \draw[] (A) -- +(0.5*\Alpha:\wa) coordinate[label=45:$W_a$](Wa); \draw[] (B) -- +(180-0.5*\Beta:\wb) coordinate[label=135:$W_b$](Wb); \draw[] (C) -- +(-\Beta-0.5*\Gamma:\wc) coordinate[label=-90:$W_c$](Wc); % Inkreis \draw[] (I) circle[radius=\r]; % Außenwinkel \draw[] (A) -- +(-8mm,0) coordinate[](As); \draw[] (B) -- +(8mm,0) coordinate[](Bs); \draw[] (C) -- +(\Alpha:8mm) coordinate[](Cs); \draw pic [draw, angle radius=6mm, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\alpha'$", double, ] {angle =C--A--As}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\beta'$", double, ] {angle =Bs--B--C}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\gamma'$", double, ] {angle =B--C--Cs}; % Winkel \draw pic [draw, angle radius=11mm, angle eccentricity=1.3, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\alpha2$", ] {angle =I--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=13mm, angle eccentricity=1.3, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\alpha2$", ] {angle =B--A--I}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\beta2$", ] {angle =C--B--I}; \draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\beta2$", ] {angle =I--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.6, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\gamma2$", ] {angle =A--C--I}; \draw pic [draw, angle radius=3.5mm, angle eccentricity=1.55, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\tfrac\gamma2$", ] {angle =I--C--B}; %\def\bew{0} \ifnum\bew=1 \tikzset{ bew/.style={} } \def\x{x} \def\y{y} \def\z{z} \else \def\x{\tfrac{\gamma'}{2}} \def\y{\tfrac{\beta'}{2}} \def\z{\tfrac{\alpha'}{2}} \tikzset{ bew/.style={red, angle radius=7.5mm, angle eccentricity=0.7, } } \fi % Winkel an I \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\x$", bew ] {angle =Wb--I--A}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\y$", bew ] {angle =A--I--Wc}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\z$", bew ] {angle =Wc--I--B}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\x$", bew ] {angle =B--I--Wa}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\y$", bew ] {angle =Wa--I--C}; \draw pic [draw, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\z$", bew ] {angle =C--I--Wb}; %% Punkte \foreach \P in {Wa, Wb, Wc, I} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} $ Dem Schaubild entliest man das lineare Gleichungssystem $\def\gl#1{\textsf{(#1)}} \begin{array}{l l} x+y +\dfrac\beta2 +\dfrac\gamma2 =180^\circ \\[1em] \Leftrightarrow~ x+y = 180^\circ -\dfrac{\beta+\gamma}{2} = 180^\circ -\dfrac{180^\circ -\alpha}{2} & \Leftrightarrow~ \gl{1}~ x+y = 90^\circ +\dfrac\alpha2 \\[1em] % x+z +\dfrac\alpha2 +\dfrac\gamma2 =180^\circ \\[1em] \Leftrightarrow~ x+z = 180^\circ -\dfrac{\alpha+\gamma}{2} = 180^\circ -\dfrac{180^\circ -\beta}{2} & \Leftrightarrow~ \gl{2}~ x+z = 90^\circ +\dfrac\beta2 \\[1em] % y+z +\dfrac\alpha2 +\dfrac\beta2 =180^\circ \\[1em] \Leftrightarrow~ y+z = 180^\circ -\dfrac{\alpha+\beta}{2} = 180^\circ -\dfrac{180^\circ -\gamma}{2} & \Leftrightarrow~ \gl{3}~ y+z = 90^\circ +\dfrac\gamma2 \\[1em] \end{array}$ $\gl{2} -\gl{3}:~ x-y =\dfrac\beta2 -\dfrac\gamma2 ~~\gl{4}$ $\gl{1} ~\Leftrightarrow~ y=90^\circ +\dfrac\alpha2 -x$ in $\gl{4}$: $\begin{array}{l l l} x -90^\circ -\dfrac\alpha2 +x =\dfrac\beta2 -\dfrac\gamma2 & ~\Leftrightarrow~ 2x &=90^\circ +\dfrac{\alpha+\beta-\gamma}{2} =\dfrac{180^\circ -\gamma +\alpha +\beta}{2} \\[1em] & &=\dfrac{2\alpha +2\beta}{2} =\alpha +\beta \\ ~\Leftrightarrow~ x = \dfrac{\alpha +\beta}{2} ~~\gl{5} \\[1em] \end{array}$ $\gl{5} ~\Leftrightarrow~ x = \dfrac{180^\circ-\gamma}{2} ~\Leftrightarrow~ \underline{ x=: \dfrac{\gamma'}{2} }$ $\gl{5}$ in $\gl{1}$: $ \dfrac{\alpha +\beta}{2} +y = 90^\circ +\dfrac\alpha2$ $~\Leftrightarrow~ y =\dfrac{180^\circ +\alpha -\alpha -\beta}{2} =\dfrac{180^\circ -\beta}{2} ~\Leftrightarrow~ \underline{ y=: \dfrac{\beta'}{2} }$ $\gl{5}$ in $\gl{2}$: $ \dfrac{\alpha +\beta}{2} +z = 90^\circ +\dfrac\beta2$ $~\Leftrightarrow~ z =\dfrac{180^\circ +\beta -\alpha -\beta}{2} =\dfrac{180^\circ -\alpha}{2} ~\Leftrightarrow~ \underline{ z=: \dfrac{\alpha'}{2} }$
\showoff



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Math8756785
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27

Lieben Dank, leider bringt mir dass noch nicht so viel. Man kann über die Innenwinkelsummen auch die grünen Winkel bestimmen, das Problem dass ich habe dass ich ja irgendwie die Verbindungslinie zwischen den Schnittpunkten der Winkelhalbierenden und den Dreiecksseiten (im Bild blau) ins Spiel bringen muss. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55699_Bildschirmfoto_2022-06-27_um_17.00.45.png


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cramilu
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-27

Hallo Math8756785 und willkommen im Forum! WIKI - Innenwinkelsumme im Dreieck WIKI - Sinussatz WIKI - Winkelhalbierendensatz Ein Gefrickel bleibt es trotzdem... 😉


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dietmar0609
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-27

In welchem Zusammenhang wurde die Aufgabe gestellt und wie heißt die ursprüngliche Aufgabe im Wortlaut? Bin mit den Links von Cramilu + elementare Winkeleigenschaften des Dreiecks auf die Schnelle noch zu keinem vernünftigen Ergebnis gekommen.


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dietmar0609
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-28

Sind die Koordinaten der Punkte A,B,C bekannt, kann man sämtliche Geradengleichungen und die gefragten Winkel leicht ausrechnen. Elementargeometrisch ist mir bisher noch nichts Vernünftiges eingefallen. Vielleicht hat ja jemand noch ein zündende Idee ......


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werner
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-29

mit dem Satz über die Winkelhalbierenden s. Cramilu genügt die einmalige Anwendung des Sinussatz. ob das einfach genug ist, weiß ich allerdings nicht 😉


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Wario
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-29

\quoteon(2022-06-29 13:00 - werner in Beitrag No. 11) mit dem Satz über die Winkelhalbierenden s. Cramilu genügt die einmalige Anwendung des Sinussatz. ob das einfach genug ist, weiß ich allerdings nicht 😉 \quoteoff Ich war der Meinung, er will die fraglichen Winkel in Abhängigkeit von $\alpha,~\beta,~\gamma$. Diese mit Streckenlängen auszudrücken dürfte wahrscheinlich kein großes Problem sein. PS: Man kann übrigens die gesamten grünen Winkel elegant angeben \quoteon(2022-06-27 17:02 - Math8756785 in Beitrag No. 7) \quoteoff bloß mit dieser blauen Strecke wird es komisch. Aber soweit waren wahrscheinlich andere auch schon.


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werner
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-06-29

die kann man z.B. einfach mit dem Cosinussatz ( und dem oben zitierten Hinweis) berechnen, (bis auf einen Faktor, wenn nur die Winkel gegeben sind), der gesuchte Winkel ist eindeutig 😉


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cramilu
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-29

Danke, werner: Genau! 😎 Leider habe ich im Moment wenig Zeit, und das Ins-Reine-Schreiben meines Handzettelgekritzels werde ich wohl auch in den nächsten Tagen noch nicht hinkrigen. Wenn es allerdings bis dahin kein anderer hier vorgerechnet hat, nehme ich mich dessen gerne an! 😉 \(\frac{\vert W_{\beta}C\vert}{\vert W_{\beta}A\vert}=\frac{\vert BC\vert}{\vert AB\vert}\) \(\land\) \(\frac{\vert W_{\alpha}C\vert}{\vert W_{\alpha}B\vert}=\frac{\vert AC\vert}{\vert AB\vert}\)


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Wario
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-29

Ich habe mich schlecht ausgedrückt: Ich meinte für z.B. den Winkel $\sphericalangle CW_aI =\sphericalangle CW_aA $ kann ich einen Ausdruck angeben, der allein von $\alpha,~\beta,~\gamma$ abhängt. Ahnlich bei den sonstigen Winkeln, die an den Schnittpunkten der Winkelhalbierenden mit den Dreiecksseiten entstehen. \quoteon(2022-06-27 17:02 - Math8756785 in Beitrag No. 7) \quoteoff Mit der blauen Linie braucht es dann anscheinend trigonometrische Ausdrücke, in denen Streckenlängen vorkommen. Ja gut, warum nicht.


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werner
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-29 17:54 - cramilu in Beitrag No. 14) Danke, werner: Genau! 😎 Leider habe ich im Moment wenig Zeit, und das Ins-Reine-Schreiben meines Handzettelgekritzels werde ich wohl auch in den nächsten Tagen noch nicht hinkrigen. Wenn es allerdings bis dahin kein anderer hier vorgerechnet hat, nehme ich mich dessen gerne an! 😉 \(\frac{\vert W_{\beta}C\vert}{\vert W_{\beta}A\vert}=\frac{\vert BC\vert}{\vert AB\vert}\) \(\land\) \(\frac{\vert W_{\alpha}C\vert}{\vert W_{\alpha}B\vert}=\frac{\vert AC\vert}{\vert AB\vert}\) \quoteoff dann will ich dir die Plagerei ersparen: für den gesuchten Winkel finde ich mit den Bezeichnungen aus meinem Bilderl: im \Delta(CED) gilt mit dem Satz über die Winkelhalbierenden und dem Sinussatz: sin(\gamma+\delta):sin\delta=(b+c)/(a+c)=\lambda =(sin\beta+sin\gamma)/(sin\alpha+sin\gamma) tan\delta=sin\gamma/(\lambda-cos\gamma) und damit im Punkt E: \pi-\alpha-\beta/2+\epsilon+\delta=\pi woraus man mit viel Mühe den gesuchten Winkel "epsilon" finden kann 🙂 https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/6049_winkel_berechnen.JPG ähnlich findet man die von Wario gesuchte Strecke mit dem Cosinussatz, bis auf einen konstanten Faktor mit Hilfe des Satzes über die Winkelhalbierenden.


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cramilu
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-06-30

😄 Geh, Schatzi (platonisch!), lass' Di abbusseln; bist a echter Haberer! 😃 Da kann ich mich ja nun an dem heutigen schwülheißen Tag (aktuell 34,5 °C) entspannt zurücklehnen und meinen Ribisel-Gschbriddsdn genießen... ... und mir heute Abend "cramilus Spezial-Wurstsalat mit Oliven und Paradeisern" zubereiten: \showon Saucengrundierung aus Salatöl, Essig oder Zitronensaft, etwas Senf, Salatkräuterpäckchen, extra Paprikapulver, extra gemahlener Kümmel, etwas Thymian und Rosmarin, ggf. etwas Oregano; etliche Essiggurken zu kleinen Stiften schneiden und dazu; 500 g saftige Paradeiser (Tomaten) in grobe Stücke schneiden und dazu; Glas grüne Oliven dazu (samt etwas vom Saft); je 250 g Emmentaler und Quargel (Hüttenkäse) in Würfel schneiden und dazu; etwas vom Quargel- Einlage-Saft dazu; je 250 g groben Fleischkäse und fränkische Stadtwurst etc. in grobe Streifen schneiden und dazu; durchmengen, nachabschmecken und durchziehen lassen... * Zwiebeln sind ein Kann, kein Muss * Gewürze nach gusto variabel * Komponenten-Mengen nach gusto variabel \showoff


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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-30 11:04 - cramilu in Beitrag No. 17) 😄 Geh, Schatzi (platonisch!), lass' Di abbusseln; bist a echter Haberer! 😃 Da kann ich mich ja nun an dem heutigen schwülheißen Tag (aktuell 34,5 °C) entspannt zurücklehnen und meinen Ribisel-Gschbriddsdn genießen... ... und mir heute Abend "cramilus Spezial-Wurstsalat mit Oliven und Paradeisern" zubereiten: \quoteoff MAHLZEIT das Rezept (ohne Zwiebel) geht gleich an meine Küchenchefin!


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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-30 09:40 - werner in Beitrag No. 16) \pi-\alpha-\beta/2+\epsilon+\delta=\pi \quoteoff Ja, das meinte ich ja. Du ermittelst einen Term für den gesamten Winkel $\delta+\varepsilon$, der allein von den Innenwinkeln abhängt. Er will wohl Terme für $\delta$ und $\varepsilon$.


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werner
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-30 17:42 - Wario in Beitrag No. 19) \quoteon(2022-06-30 09:40 - werner in Beitrag No. 16) \pi-\alpha-\beta/2+\epsilon+\delta=\pi \quoteoff Ja, das meinte ich ja. Du ermittelst einen Term für den gesamten Winkel $\delta+\varepsilon$, der allein von den Innenwinkeln abhängt. Er will wohl Terme für $\delta$ und $\varepsilon$. \quoteoff 😡 den Winkel "delta" habe ich doch 2 ( in Worten: zwei) Zeilen darüber berechnet. naja, wie so oft: wer lesen kann ist klar im Vorteil 🙂


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Wario
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-07-01

\quoteon(2022-06-30 09:40 - werner in Beitrag No. 16) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/6049_winkel_berechnen.JPG \quoteoff Ja. Also ich ermittle auf eher klassischem Wege (u.a. Sinus- und Kosinussatz) $a^2_C =\left( \dfrac{a_C\, \sin(\gamma)}{\sin(\delta)} \right)^2 +b_C^2 + 2 \dfrac{a_C\, \sin(\gamma)}{\sin(\delta)} \, b_C \cos(\delta) $ wobei die Seitenabschnitte der entsprechenden Winkelhalbierenden $ a_C =\dfrac{ab}{b+c}$ und $ b_C =\dfrac{ab}{c+a}$ kein besonderes Problem sind. Ich könnte das alles schon genauer ausführen und herleiten, aber die Lösung nach $\delta$ scheint mir keinen angenehmen Term zu liefern. Es entspräche quasi der Lösung der Gleichung $ A =\dfrac{B}{\sin^2(x)} +\dfrac{C}{\tan(x)} $ nach $x$, und das sieht irgendwie nicht so toll aus. €dit: Vielleicht lässt sich aus der Lösung nach $\tan(x)$ ein bisschen was basteln. Ich mache es ggf., wenn ich dazu komme.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
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ebikerni
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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-07-03

Hallo dietmar0609, die Dreieckdarstellung in Deinem Beitrag 5 ist sehr anschaulich und schnell mit Taschenrechner zu berechnen. Die zu berechneten Winkel sind epsilon1 und epsilon2. Die gegebenen Winkel im Dreieck sind Alpha=30 Beta=120 demzufolge Gamma=30 und c=10, das die gesuchten Winkel nicht größenmäßig beeinflusst. Jetzt können in den Dreiecken alle notwendigen Seiten und Winkel berechnet werden. ( Sinussatz, Cosinussatz ). Im Endeffekt werden epsilon1=45 (E) und epsilon2=30 (D) berechnet. Ich kann natürlich auch ein Programm mit Programmiersprache Python und 15-stelliger Genauigkeit erstellen. Im Dreieck müssen immer 3 Elemente gegeben und jetzt 26 Elemente natürlich mit Kontrollen berechnet werden. Die Eingabe der Größen für Alpha, Beta und c kann dann beliebig sein. Gruß ebikerni


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Wario
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-07-07

\quoteon(2022-06-30 09:40 - werner in Beitrag No. 16) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/6049_winkel_berechnen.JPG \quoteoff Ich habe irgendwie die Vermutung, dass der Winkel $\delta$ stets kleiner als $90^\circ$ ist. Wie kann ich das zeigen?


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mire2
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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-07-07

\quoteon(2022-07-07 17:16 - Wario in Beitrag No. 23) \quoteon(2022-06-30 09:40 - werner in Beitrag No. 16) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/6049_winkel_berechnen.JPG \quoteoff Ich habe irgendwie die Vermutung, dass der Winkel $\delta$ stets kleiner als $90^\circ$ ist. Wie kann ich das zeigen? \quoteoff Hmm, schwierig ... https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/14350_Screenshot_2022-07-07_172752.png


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