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Universität/Hochschule J Limes von Automorphismenfolge
sina1357
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  Themenstart: 2022-06-27

Hallo zusammen, ich bearbeite folgende Aufgabe: Sei $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge von Automorphismen des Einheitskreises, die punktweise gegen $f$ nicht-konstant konvergiert. Zeige: $f$ ist holomorph und injektiv mit $f(K_1(0))\subset K_1(0)$. Die Holomorphie und Injektivität von $f$ habe ich bereits gezeigt. Mir fehlt noch $f(K_1(0))\subset K_1(0)$. Eigentlich kann das nicht so schwierig sein, aber ich stehe irgendwie auf dem Schlauch. Muss ich irgendwie eine Folge mit $|z_n|\to 1$ betrachten? Ich freue mich über jegliche Hinweise!!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, sei $\mathbb D:=K_1(0)$. Für alle $z\in \mathbb D$ gilt $$ |f(z)|=\left|\lim_{n\to \infty} f_n(z)\right|=\lim_{n\to \infty}\underbrace{|f_n(z)|}_{< \, 1} \leq 1. $$ Folglich gilt $f(\mathbb D)\subseteq \overline{\mathbb D}$. Da $\mathbb D$ offen ist sowie $f\colon \mathbb D\to \mathbb C$ holomorph und nicht-konstant ist folgt, dass $f(\mathbb D)$ offen ist. Was kannst du daher über $f(\mathbb D)\cap \partial\mathbb D$ aussagen und was folgt daraus für $f(\mathbb D)$? LG Nico\(\endgroup\)


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sina1357
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28

Hallo Nico, an den Satz von der Gebietstreue habe ich gar nicht mehr gedacht, danke für deine Hilfe!


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sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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