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Universität/Hochschule Umgebung von Einheitsmatrix
akondo11
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  Themenstart: 2022-06-30

Hallo Leute, das ist meine erste Frage hier im Forum :) Ich soll folgendes zeigen: Ich soll zeigen, dass es eine Umgebung U von I_n \el\ \IR^(n,n) gibt, sodass für jedes X \el\ U ein Y \el\ \IR^(n,n) existiert mit X=Y^3 Ich vermute, dass ich hierfür mit dem Umkehrsatz arbeiten muss, allerdings sehe ich noch nicht ganz den zusammenhang/lösungsweg. Bin also für jede Hilfe offen!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten :) Was würde dir denn der Umkehrsatz sagen, wenn das Differential der Abbildung $A\mapsto A^3$ in $1_n$ invertierbar wäre? LG Nico [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von nzimme10]\(\endgroup\)


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akondo11
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Hallo Nico, dann wissen wir schonmal, dass für A eine Eindeutige Lösung existiert.


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Machen wir es mal konkret: Sei $f\colon \mathbb R^{n\times n}\to \mathbb R^{n\times n}$ gegeben durch $f(A)=A^3$. Nehmen wir weiter an (das können wir auch erst später zeigen), dass $Df(1_n)\colon \mathbb R^{n\times n}\to \mathbb R^{n\times n}$ invertierbar ist. Was ist nun die genaue Aussage des Umkehrsatzes? LG Nico\(\endgroup\)


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akondo11
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Dann ist f um l_n lokal invertierbar mit stetig differenzierbarer Inverse.


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Genau. Wenn du jetzt noch aufschreibst, was das genau bedeutet, dann bist du fertig. Konkret sagt der Satz ja dann: Es gibt offene Umgebungen $U$ von $1_n$ und $V$ von $f(1_n)$, so dass $f|_U\colon U\to V$ ein $C^1$-Diffeomorphismus, also insbesondere bijektiv ist. $V$ ist nun eine Umgebung von $1_n$ (da ja $f(1_n)=1_n$ gilt) und für jedes $X\in V$ gibt es nun ein $Y\in U$ mit $X=f(Y)=Y^3$. Jetzt musst du natürlich auch noch nachweisen, dass $Df(1_n)$ tatsächlich invertierbar ist. LG Nico\(\endgroup\)


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