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 Umgebung von Einheitsmatrix |
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akondo11
Neu 
Dabei seit: 30.06.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-06-30
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Hallo Leute, das ist meine erste Frage hier im Forum :)
Ich soll folgendes zeigen:
Ich soll zeigen, dass es eine Umgebung U von I_n \el\ \IR^(n,n) gibt,
sodass für jedes X \el\ U ein Y \el\ \IR^(n,n) existiert mit
X=Y^3
Ich vermute, dass ich hierfür mit dem Umkehrsatz arbeiten muss, allerdings sehe ich noch nicht ganz den zusammenhang/lösungsweg. Bin also für jede Hilfe offen!
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1503
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-30
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten :)
Was würde dir denn der Umkehrsatz sagen, wenn das Differential der Abbildung $A\mapsto A^3$ in $1_n$ invertierbar wäre?
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von nzimme10]\(\endgroup\)
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akondo11
Neu
Dabei seit: 30.06.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30
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Hallo Nico,
dann wissen wir schonmal, dass für A eine Eindeutige Lösung existiert.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1503
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-30
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Machen wir es mal konkret: Sei $f\colon \mathbb R^{n\times n}\to \mathbb R^{n\times n}$ gegeben durch $f(A)=A^3$. Nehmen wir weiter an (das können wir auch erst später zeigen), dass $Df(1_n)\colon \mathbb R^{n\times n}\to \mathbb R^{n\times n}$ invertierbar ist.
Was ist nun die genaue Aussage des Umkehrsatzes?
LG Nico\(\endgroup\)
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akondo11
Neu
Dabei seit: 30.06.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30
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Dann ist f um l_n lokal invertierbar mit stetig differenzierbarer Inverse.
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nzimme10
Senior
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Mitteilungen: 1503
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-30
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Genau. Wenn du jetzt noch aufschreibst, was das genau bedeutet, dann bist du fertig.
Konkret sagt der Satz ja dann: Es gibt offene Umgebungen $U$ von $1_n$ und $V$ von $f(1_n)$, so dass $f|_U\colon U\to V$ ein $C^1$-Diffeomorphismus, also insbesondere bijektiv ist.
$V$ ist nun eine Umgebung von $1_n$ (da ja $f(1_n)=1_n$ gilt) und für jedes $X\in V$ gibt es nun ein $Y\in U$ mit $X=f(Y)=Y^3$.
Jetzt musst du natürlich auch noch nachweisen, dass $Df(1_n)$ tatsächlich invertierbar ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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