| Autor |
 Dampfdruck |
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physics100
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 |  Themenstart: 2022-07-04
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Hallo alle!
Ich kann die Rechenschritte der folgenden Aufgabe nicht nachvollziehen. Wie ist man auf die 3.Zeile gekommen, also da wo die Punkteanzahl steht? Und wie ist man hier (3. Zeile) vorgegangen? Ich habe irgendwie den Faden verloren und komme leider nicht weiter. Könnt ihr mir weiterhelfen?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_4FC4FE1C-C52E-464A-8D00-C1242F8A95F1.jpeg
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wladimir_1989
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-05
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Hallo physics100,
ich versuche deine Rechnung zusammenzufassen:
1) Im Behälter gilt die allgemeine Gasgleichung, umgestellt nach dem Dampfdruck \(p=\mathcal{N}kT\), wobei \(\mathcal{N}:=\frac{N}{V}\) die Teilchenzahldichte ist.
2) Die Teilchenzahldichte können wir berechnen, indem wir berechnen, wieviel Volumen diejenige Menge Cäsium-Dampf eingenommen hatte, die das Behälter verließ. Dieses Volumen berechnen wir aus dem Volumenstrom \(\dot V\) multipliziert mit der Öffnungszeit t. Für den Volumenstrom haben wir \(\dot V=A \frac{1}{4}\langle v\rangle\). Der Faktor \(\frac14\) kommt daher, dass die Cäsiumatome ja in alle Raumrichtungen fliegen. Daher entspricht ihre effektive Geschwindigkeit senkrecht zu Öffnung in etwa dem Verhältnis der Öffnungsfläche zur Fläche einer Kugel vom gleichen Radius, was ja gerade \(\frac14\) ist. Nach der kinetischen Gastheorie hängt die mittlere Teilchengeschwindigkeit in einem Gas alleine von seiner Temperatur ab über
\(\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8 kT}{\pi m_C}}\), wobei \(m_C\) die Atommasse ist.
3) Die letzte Zutat ist die ausgetretene Teilchenmenge \(\Delta N\). Diese erhalten wir über die Molmasse als \(\Delta N=\frac{\Delta m}{M}N_A\), wobei \(N_A\) die Avogadro-Zahl ist.
4) Nun setzen wir alles zusammen
\[p=\mathcal{N}kT=\frac{\Delta N}{\Delta V}kT=\frac{4\Delta m N_A}{MAt}kT\sqrt{\frac{\pi m_C}{8 kT}}\]
5) Unter Verwendung der Beziehungen \(M=m_CN_A\) und \(R=kN_A\) erhält man dein Endergebnis.
lg Wladimir
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physics100
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
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Vielen lieben Dank Wladimir! Deine Erklärung ist ja sehr viel verständlicher und besser zum verstehen. Ich habe dir soweit folgen können
Morgen rechne ich die Aufgabe durch und melde mich bei Fragen hier erneut.
Besten Dank!!
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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physics100
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
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Wladimir_1989, wenn ich die Zahlenwerte einsetzte, kommt bei mir ein anderes Ergebnis heraus. Habe ich einen Fehler eingebaut? Kannst Du einen Blick werfen?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_47D7502B-33CF-419C-AC87-A68DC30AAD6C.jpeg
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wladimir_1989
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-06
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Hallo,
der Fehler scheint von \(\Delta m\) zu kommen. Da sind doch einfach deine 385 mg. Im Übrigen wäre es einfacher, das Ergebnis zuerst zu vereinfachen und mithilfe von \(M=m_CN_A\) und \(R=kN_A\) auf die Form aus Beitrag 1 zu bringen.
lg Wladimir
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physics100
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06
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Vielen Dank erstmal!
Ich versteh die Umformung noch nicht ganz bzw. wie man auf die Form des 1. Beitrags kommt.
So würde ich´s dann machen:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_0E3CD35F-FEB8-41FB-80A2-F58935D38FAF.jpeg
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wladimir_1989
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-06
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Hallo, es gilt
\[\frac{4\Delta m N_A}{MAt}kT\sqrt{\frac{\pi m_C}{8 kT}}=\frac{\Delta m}{Am_Ct}\sqrt{2 \pi m_CkT}=\frac{\Delta m}{At}\sqrt{\frac{2 \pi kT}{m_C}}=\frac{\Delta m}{At}\sqrt{\frac{2 \pi RT}{M}}.\]
Im letzten Schritt wurde in der Wurzel mit \(N_A\) erweitert.
lg Wladimir
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physics100
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06
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Erstmal vielen Dank für deine Erklärung!
Ehrlich gesagt habe ich diesen Schritt nicht nachvollziehen können. Wie bist du auf diese Umformung gekommen? Hast du einfach die Beziehung M= mNa und R=kNa in die Gleichung eingesetzt?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-07-06
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Hallo,
zuerst eine Anmerkung zur Notation, ich habe \(m\) durch \(m_C\) als Symbol für die Masse eines Cäsium-Atoms ersetzt. Vielleicht hat dich das verwirrt. Danke an PhysikRabe für den Hinweis!
Falls sich deine Frage auf den letzten Schritt bezieht, dann habe ich den Bruch in der Wurzel einfach mit \(\frac{N_A}{N_A}\) multipliziert und dann die beiden Beziehungen verwendet.
lg Wladimir
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physics100
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06
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ich habe die Umformung leider immer noch nicht verstanden, vor allem die 2. Spalte, also das was in der zweiten Reihe steht und mit m/Amc√2pimckT .. steht.
Oben in der Lösung kann ich die 3.Zeile, also unterhalb von der gelb markierten Zeile, auch nicht nachvollziehen.
Edit: Ich dachte, dass ich den zweiten Term verstanden habe, aber ich hab´s doch nicht.
Also den zweiten Term bzw. Die zweite Reihe habe ich nicht verstanden
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wladimir_1989
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-07-07
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Hallo,
ok, gehen wir die Schritte im Beitrag 6 durch:
1. Gleichheitszeichen: Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln \(4kT=\sqrt{16 k^2 T^2}\) und Kürzen, insbesondere \(\frac{N_A}{M}=\frac{N_a}{m_CN_A}=\frac{1}{m_C}\).
2. Gleichheitszeichen: \(\frac{1}{m_C}=\sqrt{\frac{1}{m_C^2}}\) und Kürzen.
3. Gleichheitszeichen: Erweitern mit \(N_A\).
Zur gelb markierten Zeile: Es wird die Änderung der Masse pro Zeitintervall berechnet, wobei wir davon ausgehen, dass die momentane Rate der Massenänderung konstant und damit gleich der mittleren Rate ist. (Das ist das erste Gleichheitszeichen). Dann setzen wir die Massenänderung gleich der Masse eines Atoms mal die Änderung der Anzahl der Atome. Im letzten Schritt wird die Änderung der Anzahl berechnet aus der Volumenänderung (mittlere Geschwindigkeit mal Fläche der Öffnung) mal die Teilchendichte. Letztere ergibt sich aus dem allgemeinen Gasgesetz zu \(\frac{p}{kT}\).
lg Wladimir
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