Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Bestimmen des maßtheoretischen Integrals einer Funktion mit zwei Argumenten
Autor
Universität/Hochschule Bestimmen des maßtheoretischen Integrals einer Funktion mit zwei Argumenten
dvdlly
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 275
  Themenstart: 2022-07-09

Hallo, Ich arbeite gerade Interessehalber Übungsblätter zu Maß/Integrationstheorie durch und frage mich bei folgender Aufgabe wie bestimmt man das Integral einer Funktion mit mehreren (in diesem Fall 2) Argumenten? In dem Skript, dass ich dazu heruntergeladen habe wird darauf nicht eingegangen. Danke! https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47149_Screenshot_from_2022-07-09_11-12-01.png


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-09

Hi, habt ihr das Produktmaß behandelt? Viele Grüße zathe


   Profil
dvdlly
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 275
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Hi, Ja, in dem Skript wurde die Eigenschaft definiert \(P_1 \otimes ... \otimes P_n (A_1 \times ... \times A_n) = P_1(A_1) \cdot ... \cdot P_n(A_n)\), wobei \(P_1 \otimes ... \otimes P_n\) das Produktmaß ist und \(A_1 \times ... \times A_n \in \textit{A}_1 \otimes ... \otimes \textit{A}_n\) ein Element aus dem Produkt-Mengensystem. Sonst wurde aber nichts darüber geschrieben. (Habe versucht die A's des Produktmengensystems mit textit kursiv zu machen aber das hat nicht geklappt - sie sollen jedenfalls verschieden von den A's in \(A_1 \times ... \times A_n\) sein.)


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4057
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-09

\quoteon(2022-07-09 11:16 - dvdlly im Themenstart) wie bestimmt man das Integral einer Funktion mit mehreren (in diesem Fall 2) Argumenten? \quoteoff In dieser Aufgabe werden einfach zwei Integrale nacheinander ausgerechnet (Stichwort "iterierte Integrale"). Für die linke Seite berechnet man erst das Integral$$ \int_{\Omega_2}I_D(\omega_1,\omega_2)\,\mu_2(\mathrm d\omega_2) $$und betrachtet dabei $\omega_1$ als einen festen Parameter. Das Ergebnis dieser Integration ist eine von $\omega_1$ abhängige Funktion $J$, die dann weiter intergriert wird:$$ \int_{\Omega_1}J(\omega_1)\,\mu_1(\mathrm d\omega_1) $$Für die rechte Seite geht man analog vor, nur tauschen $\Omega_1$ und $\Omega_2$ ihre Rollen. \quoteon(2022-07-09 11:23 - zathe in Beitrag No. 1) habt ihr das Produktmaß behandelt? \quoteoff Von Produktmaßen sollte man hier die Finger lassen, da $\mu_2$ nicht $\sigma$-endlich ist. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-09

\quoteon Von Produktmaßen sollte man hier die Finger lassen, da $\mu_2$ nicht $\sigma$-endlich ist. \quoteoff Der Sinn der Aufgabe besteht anscheinend genau darin, anhand eines konkreten Beispiels zu erkennen, dass es mehrdimensionale Integrale gibt, die man über das Produktmaß nicht mit dem Satz von Fubini berechnen kann. Und der Fragesteller hatte ja gefragt, wie man mehrdimensionale Integrale berechnet. Und da erst einmal an Produktmaße und den Satz von Fubini zu denken und dann die Voraussetzungen des Satzes zu prüfen, erspart einem bei den meisten mehrdimensionalen Integralen, die einem gewöhnlich begegnen, viel Arbeit. Um genau dafür den Blick zu entwickeln, ist die Aufgabe sicherlich sinnvoll und gestellt worden.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4057
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-09

\quoteon(2022-07-09 12:04 - zathe in Beitrag No. 4) Der Sinn der Aufgabe besteht anscheinend genau darin, anhand eines konkreten Beispiels zu erkennen, dass es mehrdimensionale Integrale gibt, die man über das Produktmaß nicht mit dem Satz von Fubini berechnen kann. \quoteoff Ohne die Voraussetzung der $\sigma$-Endlichkeit ergibt es nicht einmal Sinn, von dem Produktmaß zu sprechen.


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-09

\quoteon Ohne die Voraussetzung der $\sigma$-Endlichkeit ergibt es nicht einmal Sinn, von dem Produktmaß zu sprechen. \quoteoff Ja, genau, das ist dann nicht eindeutig bestimmt. Genau das will man ja aber erst prüfen, indem man an das Konzept "Produktmaß" denkt.


   Profil
dvdlly
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 275
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Bin es mal im Kopf durchgegangen, also \(\int_{\Omega_1}^{} \int_{\Omega_2}^{} I_D(\omega_1,\omega_2)\,\mu_1(d\omega_1) \,\mu_2(d\omega_2) = \int_{\Omega_1}^{} 1_{\omega_1}(\omega_1) \,\mu_1(d\omega_1) \neq 0 =\) rechte Seite, richtig?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4057
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-07-09

Das Ergebnis ist richtig, du könntest das "$\ne0$" aber noch durch den konkreten Wert ersetzen. \quoteon(2022-07-09 14:23 - dvdlly in Beitrag No. 7) \(\int_{\Omega_1}^{} \int_{\Omega_2}^{} I_D(\omega_1,\omega_2)\,\mu_1(d\omega_1) \,\mu_2(d\omega_2)\) \quoteoff Die Reihenfolge der Differential stimmt nicht, es müsste so aussehen: $\int_{\Omega_1}\int_{\Omega_2}I_D(\omega_1,\omega_2)\,\mu_2(d\omega_2) \,\mu_1(d\omega_1)$


   Profil
dvdlly
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 275
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Ups, das war ein versehentlicher Dreher. Beim vollständigen Aufösen bin ich mir ein wenig unsicher, es gilt \(\int_{\Omega_1}^{} 1_{\omega_1}(\omega_1) \,\mu_1(d\omega_1) = \infty\) oder?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4057
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-07-09

ja.


   Profil
dvdlly hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
dvdlly wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]