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  Anwendung der Gleichverteilung für ein Beispiel |
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italiano_97
Neu 
Dabei seit: 26.07.2022
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2022-07-26
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Ein Bauernhof verkauft Gemusekisten deren Gewicht zwischen 4.5 und 5.5 kg liegt. Wir nehmen an, dass das Gewicht einer Kiste gleichverteilt auf [4.5, 5.5] ist und alle Kisten unabhängig voneinander gepackt werden. Die Kisten sollen mit einem Kleintransporter befördert werden.
Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zulässige Nutzlast von 1506 kg bei einer Beladung von 300 Kisten uberschritten wird.
Also zunächst mal sind \(\frac{1506}{300}=5.02\). Die Verteilungsfunktion für \(4.5\leq x\leq 5.5\) ist gegeben durch \(F(X)=x-4.5\). Dann erhalten wir \[P(X>5,02)=1-P(X\leq 5,02)=0,48\] Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kiste über 5,02 wiegt liegt bei 48%. Jetzt muss ich dies ja aber noch auf die 300 Kisten übertragen. Dabei bin ich gerade ziemlich ratlos und würde mich über Hilfe freuen.
Liebe Grüße
Francesco
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-26
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Hallo Francesco und willkommen hier im Forum!
\quoteon(2022-07-26 17:30 - italiano_97 im Themenstart)
Also zunächst mal sind \(\frac{1506}{300}=5.02\)...
\quoteoff
Das kann man so leider nicht machen. Die Aufgabe zielt auf den Zentralen Grenzwertsatz ab. Habt ihr den schon durchgenommen?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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italiano_97
Neu
Dabei seit: 26.07.2022
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-26
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Hallo Diophant, ich habe es jetzt mal damit Probiert.
Also ich suche \(P(S_{300}\leq 1506)\) und \(S_{300}=\sum\limits_{i=1}^{300} X_i\) und \(X_i\) ist gleichverteilt auf \([4,5;5,5]\). Dann erhalte ich
\(E(X_i)=5\), \(Var(X_i)=\frac{1}{12}\), sowie
\(E(S_{300})=E(\sum\limits_{i=1}^{300} X_i)=\sum\limits_{i=1}^{300} E(X_i)=1500\) und das selbe gilt für die Varianz, also: \(Var(S_{300})=\frac{300}{12}=25\)
Es folgt: \(Z_{300}=\frac{S_{300}-1506}{\sqrt{25}}=\frac{S_{300}-1506}{5}\)
\(P(S_{300}\leq 1506)=P(Z_{300}\leq \frac{6}{5})=\phi(1,2)\)
Was mich verwirrt und weswegen ich mir auch jetzt nicht sicher bin, ob dies so stimmt, ist dass wir dort ja \(n \to \infty\) haben und hier nicht
LG Francesco
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-26
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Hallo,
\quoteon(2022-07-26 19:11 - italiano_97 in Beitrag No. 2)
Hallo Diophant, ich habe es jetzt mal damit Probiert.
Also ich suche \(P(S_{300}\leq 1506)\) und \(S_{300}=\sum\limits_{i=1}^{300} X_i\) und \(X_i\) ist gleichverteilt auf \([4,5;5,5]\). Dann erhalte ich
\(E(X_i)=5\), \(Var(X_i)=\frac{1}{12}\), sowie
\(E(S_{300})=E(\sum\limits_{i=1}^{300} X_i)=\sum\limits_{i=1}^{300} E(X_i)=1500\) und das selbe gilt für die Varianz, also: \(Var(S_{300})=\frac{300}{12}=25\)
Es folgt: \(Z_{300}=\frac{S_{300}-1506}{\sqrt{25}}=\frac{S_{300}-1506}{5}\)
\(P(S_{300}\leq 1506)=P(Z_{300}\leq \frac{6}{5})=\phi(1,2)\)
\quoteoff
Das sieht doch schonmal (fast) gut aus. Fast deshalb, weil deine Rechnung irgendwie die Aufgabenstellung noch nicht so ganz trifft (für was ist gleich nochmal die Wahrscheinlichkeit gesucht...)
\quoteon(2022-07-26 19:11 - italiano_97 in Beitrag No. 2)
Was mich verwirrt und weswegen ich mir auch jetzt nicht sicher bin, ob dies so stimmt, ist dass wir dort ja \(n \to \infty\) haben und hier nicht
\quoteoff
Es gibt eine Faustregel für die Summe identisch gleichverteilter Zufallsvariablen (ob die Regel unverändert auch allgemein für die Summe identisch verteilter ZVen gilt, ist mir gerade nicht klar). Danach kann man ab \(n=30\) eine solche Summe in guter Näherung durch eine Normalverteilung approximieren, so wie du es hier gemacht hast.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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italiano_97
Neu
Dabei seit: 26.07.2022
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-26
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Aaaaah ich suche \[P(S_{300}>1506)=1-P(S_{300}\leq 1506)=1-P(Z_{300}\leq \frac{6}{5})=1-\phi(1,2)=1-0,88493\\=0,11507\]
Jetzt müsste es passen oder?
\quoteon(2022-07-26 20:53 - Diophant in Beitrag No. 3)
Es gibt eine Faustregel für die Summe identisch gleichverteilter Zufallsvariablen (ob die Regel unverändert auch allgemein für die Summe identisch verteilter ZVen gilt, ist mir gerade nicht klar). Danach kann man ab \(n=30\) eine solche Summe in guter Näherung durch eine Normalverteilung approximieren, so wie du es hier gemacht hast.
\quoteoff
Gut, dann weiß ich da jetzt auch Bescheid und habe eine Sorge weniger ;)
Vielen Dank
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-26
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\quoteon(2022-07-26 21:22 - italiano_97 in Beitrag No. 4)
Aaaaah ich suche \(P(S_{300}>1506)=1-P(S_{300}\leq 1506)=1-P(Z_{300}\leq \frac{6}{5})=1-\phi(1,2)\)
Jetzt müsste es passen oder?
\quoteoff
Jep. Und vergleiche vielleicht das Ergebnis einmal mit dem, das bei deinem ursprünglichen Ansatz herausgekommen wäre. Das ist schon ein signifikanter Unterschied, würde ich meinen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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italiano_97
Neu
Dabei seit: 26.07.2022
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-26
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Da hast du wohl recht haha
Vielen Dank für deine Hilfe.
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italiano_97 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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