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 Abtastung im f-Bereich (Einweg- und Zweiweggleichrichtung) |
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Sinnfrei
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_sinus1.jpeg
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_sinus2.jpeg
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_sinus4.jpeg
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_sinus3.jpeg
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_sinus7.jpeg
An der Stelle weiss ich nicht ob das so richtig ist. Das was ich eingesetzt oder verwendet habe, steht im Hinweis und danach habe ich mich dann orientiert. Das in rot markierte verstehe ich noch nicht. Wenn ich das $S(f)$ in die Summe hineinbekommen möchte, dann müsste doch das Argument von der si-Fkt. dort sein, wo der Dirac ungleich 0 ist oder? Warum ist dann das Argument einer si-Fkt. dann nicht $$\operatorname{si}\left({\pi\over 2f_0} \left(k {4 f_0\over 5}\right)\right)$$ sondern $$\operatorname{si}\left({\pi\over 2f_0}\left(k{4f_0\over 5} - f_0\right)\right)$$
Und dann noch die letzte Zeile. Da kommt dann auch was unschönes heraus.
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_sinus5.jpeg
Vielen Dank schon mal im voraus 🙂
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rlk
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-05 10:34
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Hallo Sinnfrei,
die Skizze in 1 ist richtig, die Rechnung in 2 scheint keine groben Fehler zu enthalten. Der Kontrast zwischen schwarz und blau ist zumindest auf meinem Telephon niedrig, was den plötzlichen Vorzeichenwechsel von Zeile2 auf Zeile 3 etwas schwer erkennbar macht.
In Teil 3 ist der Kehrwert $T=1/f_a$ der spektralen Abtastfrequenz falsch eingezeichnet. Wie muss diese Zeit mit der Periode des gleichgerichteten Signals zusammenhängen?
Bevor Du hier rechnest, solltest Du Dir klarmachen, was bei der spektralen Abtastung passiert und warum sie hier anwendbar ist. Versuche bitte, mit eigenen Worten zu beschreiben, wie die spektrale Abtastung funktioniert.
Die Frage nach der betragsmäßig kleinsten positiven Frequenz kannst Du auch ohne Rechnung beantworten.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-05 17:56
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\quoteon(2022-08-05 10:34 - rlk in Beitrag No. 1)
In Teil 3 ist der Kehrwert $T=1/f_a$ der spektralen Abtastfrequenz falsch eingezeichnet. Wie muss diese Zeit mit der Periode des gleichgerichteten Signals zusammenhängen?
\quoteoff
Den Punkt verstehe ich nicht. Keine Ahnung was du meinst. Die Abtastperiode sieht für mich aber richtig aus.
\quoteon(2022-08-05 10:34 - rlk in Beitrag No. 1)
Bevor Du hier rechnest, solltest Du Dir klarmachen, was bei der spektralen Abtastung passiert und warum sie hier anwendbar ist. Versuche bitte, mit eigenen Worten zu beschreiben, wie die spektrale Abtastung funktioniert.
\quoteoff
Wie die spektrale Abtastung funktioniert, steht ja im Hinweis. Was ich da jetzt mit eigenen Worten mir zusammenbasteln soll ist mir schleierhaft.
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rlk
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-05 20:24
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-08-05 17:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-08-05 10:34 - rlk in Beitrag No. 1)
In Teil 3 ist der Kehrwert $T=1/f_a$ der spektralen Abtastfrequenz falsch eingezeichnet. Wie muss diese Zeit mit der Periode des gleichgerichteten Signals zusammenhängen?
\quoteoff
Den Punkt verstehe ich nicht. Keine Ahnung was du meinst. Die Abtastperiode sieht für mich aber richtig aus.
\quoteoff
Du hast den Abstand $\frac{5}{4f_0}$ zwischen der Nullstelle und dem übernächsten Maximum eingezeichnet. Das ist nicht die Periode des gleichgerichteten Signals und keine sinnvolle Wahl für $T=2/f_a$.
\quoteon
\quoteon(2022-08-05 10:34 - rlk in Beitrag No. 1)
Bevor Du hier rechnest, solltest Du Dir klarmachen, was bei der spektralen Abtastung passiert und warum sie hier anwendbar ist. Versuche bitte, mit eigenen Worten zu beschreiben, wie die spektrale Abtastung funktioniert.
\quoteoff
Wie die spektrale Abtastung funktioniert, steht ja im Hinweis. Was ich da jetzt mit eigenen Worten mir zusammenbasteln soll ist mir schleierhaft.
\quoteoff
Im Hinweis wird $f_0$ für eine andere Größe verwendet als in den ersten Teilaufgaben. Ich wollte herausfinden, ob Du die Idee hinter der spektralen Abtastung verstanden hast.
Das Spektrum $S(f)$ des nichperiodischen Signals $s(t)$ ist eine stetige Funktion der Frequenz. Wie sieht das Spektrum eines periodischen Signals aus und wie kann man es aus $S(f)$ berechnen?
Woher stammt die Rechnung in Teil 3? Dass die Deltafunktionen nicht einfach verschwinden, habe ich in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=259715
erklärt.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-05 21:40
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\quoteon(2022-08-05 20:24 - rlk in Beitrag No. 3)
Du hast den Abstand $\frac{5}{4f_0}$ zwischen der Nullstelle und dem übernächsten Maximum eingezeichnet. Das ist nicht die Periode des gleichgerichteten Signals und keine sinnvolle Wahl für $T=2/f_a$.
\quoteoff
Du hast Recht. In dem von mir gezeigten Beispiel wird auch von max nach übernächste max bestimmt. Ich könnte auch von Nullstelle nach der übernächsten Nullstelle, die Abtastperiode durch die Differenz bestimmen. Würde dann auch das selbe hinaus kommen.
Demnach müsste dann hier die minimale Abtastrate ja auch $f_{a1} = f_0$ oder die minimale Abtastperiode $T_{a1} = {1\over f_0}$ sein. Dann wäre bei der Zweiweggleichrichtung unter Punkt 4 die minimale Abtastperiode $T_{a2} = {1\over 2f_0}$ und die Abtastfrequenz $f_{a2} = 2f_0$.
\quoteon(2022-08-05 20:24 - rlk in Beitrag No. 3)
Im Hinweis wird $f_0$ für eine andere Größe verwendet als in den ersten Teilaufgaben. Ich wollte herausfinden, ob Du die Idee hinter der spektralen Abtastung verstanden hast.
Das Spektrum $S(f)$ des nichperiodischen Signals $s(t)$ ist eine stetige Funktion der Frequenz. Wie sieht das Spektrum eines periodischen Signals aus und wie kann man es aus $S(f)$ berechnen?
\quoteoff
Das Spektrum einer periodischen Funktion, z.B. der $\sin(2\pi F t)$ ist ja $${j\over 2}\left[\delta(f+F) - \delta(f-F)\right]$$.
Die Idee hinter der Abtastung ist ja eigentlich, wie hoch kann ich die Frequenz hochdrehen, damit ich das Signal rekonstruieren kann. Dafür macht man ja eigentlich die Abtastung. Mit einem Tiefpass kann man dann den gewünschten Bereich so ausschneiden, sodass diese rücktransformiert, wieder den $\sin$ oder den $\cos$ ergibt. Dafür darf aber die Frequenz nicht allzu hoch und nicht allzu niedrig sein. Ist die Frequenz zu niedrig kann es passieren, dass jetzt hier z.B. die $\operatorname{si}$ Terme überlappen (Alias-Effekt). Ist die Frequenz zu hoch eingestellt geraten wir in den Bereich einer Überabtastung. Daher wird auch eine minimale Abtastrate oder Abtastperiode bestimmt ($f_{a_{min}} \geq 2f_g$). In Periodendauern $T_{a_{min}} = {1\over f_{a_{min}}} \leq {1\over 2f_{g}}$
\quoteon(2022-08-05 20:24 - rlk in Beitrag No. 3)
Woher stammt die Rechnung in Teil 3? Dass die Deltafunktionen nicht einfach verschwinden, habe ich in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=259715
erklärt.
\quoteoff
Ich habe dir mal ein Beispiel zu den Delta's geschickt.
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Sinnfrei
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06 00:10
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Ich habe es jetzt mal so hingeschrieben.
Weiss aber nicht, ob das schon ausreicht, wegen der Stelle im Text
"Berechnung erforderlich". Nichtsdestotrotz komme ich auf folgende Ergebnisse bei Punkt 3 und 4.
3)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_WhatsApp_Image_2022-08-05_at_23.37.29.jpeg
4)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_WhatsApp_Image_2022-08-05_at_23.37.30.jpeg
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rlk
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-07 15:49
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-08-05 21:40 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-08-05 20:24 - rlk in Beitrag No. 3)
Du hast den Abstand $\frac{5}{4f_0}$ zwischen der Nullstelle und dem übernächsten Maximum eingezeichnet. Das ist nicht die Periode des gleichgerichteten Signals und keine sinnvolle Wahl für $T=2/f_a$.
\quoteoff
Du hast Recht. In dem von mir gezeigten Beispiel wird auch von max nach übernächste max bestimmt. Ich könnte auch von Nullstelle nach der übernächsten Nullstelle, die Abtastperiode durch die Differenz bestimmen. Würde dann auch das selbe hinaus kommen.
Demnach müsste dann hier die minimale Abtastrate ja auch $f_{a1} = f_0$ oder die minimale Abtastperiode $T_{a1} = {1\over f_0}$ sein. Dann wäre bei der Zweiweggleichrichtung unter Punkt 4 die minimale Abtastperiode $T_{a2} = {1\over 2f_0}$ und die Abtastfrequenz $f_{a2} = 2f_0$.
\quoteoff
bis auf das Wort "minimal" ist das richtig, mehr dazu weiter unten.
\quoteon
\quoteon(2022-08-05 20:24 - rlk in Beitrag No. 3)
Im Hinweis wird $f_0$ für eine andere Größe verwendet als in den ersten Teilaufgaben. Ich wollte herausfinden, ob Du die Idee hinter der spektralen Abtastung verstanden hast.
Das Spektrum $S(f)$ des nichperiodischen Signals $s(t)$ ist eine stetige Funktion der Frequenz. Wie sieht das Spektrum eines periodischen Signals aus und wie kann man es aus $S(f)$ berechnen?
\quoteoff
Das Spektrum einer periodischen Funktion, z.B. der $\sin(2\pi F t)$ ist ja $${j\over 2}\left[\delta(f+F) - \delta(f-F)\right]$$.
\quoteoff
An diesem Beispiel sieht man nur eine der beiden Eigenschaften des Spektrums einer periodischen Funktion: es ist diskret, das heißt dass es sich aus Spektrallinien zusammensetzt. Die zweite Eigenschaft ist die Tatsache, dass die Frequenzen der Spektrallinien ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz $F$ sind.
\quoteon
Die Idee hinter der Abtastung ist ja eigentlich, wie hoch kann ich die Frequenz hochdrehen, damit ich das Signal rekonstruieren kann. Dafür macht man ja eigentlich die Abtastung. Mit einem Tiefpass kann man dann den gewünschten Bereich so ausschneiden, sodass diese rücktransformiert, wieder den $\sin$ oder den $\cos$ ergibt. Dafür darf aber die Frequenz nicht allzu hoch und nicht allzu niedrig sein. Ist die Frequenz zu niedrig kann es passieren, dass jetzt hier z.B. die $\operatorname{si}$ Terme überlappen (Alias-Effekt). Ist die Frequenz zu hoch eingestellt geraten wir in den Bereich einer Überabtastung. Daher wird auch eine minimale Abtastrate oder Abtastperiode bestimmt ($f_{a_{min}} \geq 2f_g$). In Periodendauern $T_{a_{min}} = {1\over f_{a_{min}}} \leq {1\over 2f_{g}}$
\quoteoff
Das ist die Abtastung im Zeitbereich, bei der das Spektrum des ursprünglichen Signals periodisch mit der Abtastrate $f_a$ fortgesetzt wird. Wenn $f_a$ ausreichend groß ist, kommt es zu keiner Überlappung der Spektren (diese meinst Du wohl, wenn Du von $\operatorname{si}$ Termen schreibst). Dann kann man das ursprüngliche Signal wieder rekonstruieren, indem man die durch die Abtastung entstandenen Spektralanteile mit einem Tiefpassfilter entfernt.
Bei der spektralen Abtastung werden die Rollen von Zeit- und Frequenzbereich vertauscht, die Abtastung des Spektrums mit der Frequenz $f_a$ liefert ein periodisches Signal mit der Periode $T=\frac{1}{f_a}$. Weil diese Periode vorgegeben ist, hier $\frac{1}{f_0}$ für das Ausgangssignal eines Einweggleichrichters und $\frac{2}{f_0}$ für den Zweiweggleichrichter, gibt es keine minimale, sondern nur eine richtige Abtastfrequenz.
Die Rechnung in Beitrag 5 sieht richtig aus, Du solltest aber die Frage nach der kleinsten positiven Frequenz im Spektrum beantworten.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07 17:53
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\quoteon(2022-08-07 15:49 - rlk in Beitrag No. 6)
Die Rechnung in Beitrag 5 sieht richtig aus, Du solltest aber die Frage nach der kleinsten positiven Frequenz im Spektrum beantworten.
\quoteoff
Die kleinste positive Frequenz bei Punkt 4, wäre bei $2f_0$ und das entspricht wenn $k = 1$ ist.
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08 14:32
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Ich habe das jetzt nochmal anders hingeschrieben, in der Hoffnung dass das jetzt richtig sein sollte.
Zu 3)
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Zu 4)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-08_143426.png
Hab das jetzt doch irgendwie hinbekommen und die Delta's bleiben dann auch.
Die $\operatorname{si}$ Funktionen habe ich in Punkt 4, zum Ende hin also ${\sin(x)\over x}$ ausgewertet.
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