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Kein bestimmter Bereich J What a Difference a Two Makes
querin
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  Themenstart: 2022-08-09

Frei nach Stanley Adams. Frage 1: Für welche Primzahlen $p$ ist $p^2+2^p$ prim? Frage 2: Für welche Primzahlen $p$ ist $p^2+2^{2p}$ prim?


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cramilu
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-09

Zu Frage 1: Für \(3\) - oberhalb dürfte es sehr 'dünn' werden... Zu Frage 2: Für \(3\), \(5\), \(7\), \(13\) ... - oberhalb wird die Prüfung aufwändig. Artverwandte Frage 3: Für welche Primzahlen \(p\) ist \(p^3+p^2+p+\underline2\) prim?


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querin
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

zu Frage 3: das gilt offenbar für sehr viele Primzahlen (ich habe 7797 solcher $p<10^6$ gezählt). Genaueres ist anscheinend nicht bekannt (http://oeis.org/A164939)


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cramilu
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-09

😉 Zugegeben: Genau bei OEIS hab' ich das Ding vorher gefunden! 😉 Nochmal zu Frage 1: Die \(3\) scheint wirklich die einzige zu sein. Also auf zur Beweisführung, dass für \(p>3\) jedes Termergebnis durch \(3\) teilbar ist...


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querin
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

Ja, Frage 1 ist eine leichte Übung...


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cramilu
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-09

»Leicht« ist da ein großes Wort; die Fallunter- scheidungen für \(8^k+1\) finde ich schon lästig... Aber Frage 2 ist echt gut! Schon für \(p=43\) und damit \((43)^2\;+\;4^{43}\;=\;77\,371\,252\,455\,336\,267\,181\,197\,113\) kommt etwa der Prime Factors Calculator arg ins 'Schwitzen'. 😄


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querin
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

@cramilu: schön, dass Du mitmachst 😃 Bei Frage 1 ist es vielleicht einfacher $p=6k\pm1$ für $p>3$ zu verwenden. Aber es gibt sicher viele Arten, das zu zeigen. Zu Frage 2 kenne ich noch eine Lösung $p>13$, aber dann...?


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cramilu
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-09

Für derlei - nicht ganz banal-triviale - Prokrastinationen bin ich immer wieder zu haben. Zur Frage 1 habe ich inzwischen eine Uralt-Beweis-Skizze herausgekramt für »\((4^k-1)\) ist durch \(3\) teilbar!«. Mit selbiger hatte ich auch schon zu »Collatz« angesetzt - selbstverständlich ohne Erfolg! Zu Frage 2 läuft bei mir gerade der Test für \(p=67\) ... 😉


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querin
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

Zu Frage 2 gibt es mindestens 6 Lösungen.


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querin
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-20

Fünfte Lösung zu Frage 2: $p=227$ https://www.wolframalpha.com/input?i=isprime+227%5E2%2B4%5E227


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querin
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-21

Die sechste Lösung ist p=8747 $8747^2+4^{8747}$ ist eine 5267-stellige Primzahl. PS: Der Titel war eine Anspielung auf den R&B Klassiker "What a Diff'rence a Day Makes" von Dinah Washington.


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