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Analysis » Folgen und Reihen » Potenzreihenentwicklung des Logarithmus
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Universität/Hochschule J Potenzreihenentwicklung des Logarithmus
Faultier
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 16
  Themenstart: 2022-08-10

Hey, ganz dumme Frage, aber könnt ihr mir vielleicht sagen, woher diese Umformung kommt? Ich tüftle schon die ganze Zeit mit der Potenzreihenentwicklung des Logarithmus herum, aber komme leider gar nicht weiter:( $\sum\limits_{n\geq 2}\frac{(-1)^{n-1}}{n(1-n)}z^n=(1+z)\log (1+z)-z$ Könnt ihr mir vielleicht helfen? LG Faultier


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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-10

Huhu Faultier, kennst du diese Reihe? \(\displaystyle \sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}z^{n-1} \) Gruß, Küstenkind


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Faultier
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 16
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-10

Hey Küstenkind, danke für deine Hilfe. Ich kenne diese Reihe, das ist die alternierende geometrisch Reihe um $1$ verschoben.


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9653
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-08-10 14:42 - Faultier in Beitrag No. 2) Hey Küstenkind, danke für deine Hilfe. Ich kenne diese Reihe, das ist die alternierende geometrisch Reihe um $1$ verschoben. \quoteoff Welchen Reihenwert hat diese Reihe denn? Wenn du jetzt einmal die rechte Seite deiner Gleichung zweimal nach \(z\) ableitest... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-10

Das ist die alternierende geometrische Reihe. Also für \(|z|<1\): \(\displaystyle \sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}z^{n-1}=1-z+z^2-z^3\pm \ldots =\frac{1}{1+z}\) Ich würde nun lieber zweimal nach \(z\) integrieren - und zwar beide Seiten der Gleichung. Gruß, Küstenkind


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Faultier
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-10

Hey, vielen Dank Küstenkind und Diophant für eure Hilfe. Ich weiß nun, wie es gemeint ist.


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