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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Additive Funktoren
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Universität/Hochschule Additive Funktoren
HelloThere
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  Themenstart: 2022-08-16

Moin, ich habe eine Frage zu additiven Funktoren. Leider scheine ich nicht ganz zu verstehen, was additive Funktoren von Gewöhnlichen unterscheidet. Ein Funktor $F \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ heißt additiv, wenn die Abbildung $\mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(X,Y) \rightarrow \mathrm{Mor}_{\mathcal{D}}(F(X),F(Y)); f \mapsto F(f)$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Jetzt muss ein Funktor doch aber ohnehin schon $F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id_{F(X)}}$ und $F(f \circ g)=F(f) \circ F(g)$ bezüglich der Morphismen erfüllen, dann ist er doch aber schon ein Gruppenhomomorphismus. Wo ist hier mein Denkfehler (abgesehen davon, dass die Kategorien zusätzlich präadditiv sein sollen)? Grüßle


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-16

Der Denkfehler besteht darin, dass du gar nicht darüber nachgedacht hast, was die Gruppen sind, bzgl. derer das ein Homomorphismus sein soll. Du schlägst die Komposition von Morphismen vor, aber ist $\mathrm{Mor}(X,Y)$ wirklich eine Gruppe in der Hinsicht? [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Kategorientheorie' von ligning]


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