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Universität/Hochschule J Oberflächenintegral obere Hälfte der Einheitssphäre
Dominik1112
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  Themenstart: 2022-08-17

Sei $f(x,y,z)=x^2+y^2$ und $M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: x^2+y^2+z^2=1, z>0 \}$. Zu berechnen ist die Oberfläche von $M$ über $f$, d.h. $\int_M f d(x,y,z)$ Irgendwie komme ich hier nicht wirklich weiter. Ich brauche doch eine offene Menge $U\subseteq \mathbb R^2$, sodass $\varphi:U\rightarrow M$ ein Diffeomorphismus ist. Dann kann ich nämlich berechnen $\int_M fd(x,y,z)=\int_U f(\varphi(x,y)) \sqrt{g(x,y)}d(x,y)$ wobei $g(x,y)=\det(J_{\varphi}(x,y)^T J_\varphi (x,y))$ Ist das sinnvoll so vorzugehen, oder geht es hier einfacher und wie finde ich einen solchen Diffeomorphismus?


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-17

Wie kannst du denn $M$ durch Kugelkoordinaten ausdrücken? Grüße, PhysikRabe


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Dominik1112
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Kugelkoordinaten gehen doch nur, wenn ich über eine Kugel integriere. Hier integriere ich doch nur über die Oberfläche


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-17 19:41 - Dominik1112 in Beitrag No. 2) Kugelkoordinaten gehen doch nur, wenn ich über eine Kugel integriere. Hier integriere ich doch nur über die Oberfläche \quoteoff Warum sollte das nicht gehen? In der Parametrisierung der Oberfläche ist der Radius einfach fix (hier $r=1$), und es wird nur über die Winkelkoordinaten integriert. Die Einschränkung $z>0$ muss dabei berücksichtigt werden. Grüße, PhysikRabe


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Dominik1112
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Dann würde ich sagen bekomme ich $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\pi} (\sin^2\theta \cos^2\phi +\sin^2\theta\sin^2\phi)\sin \theta d\phi d\theta$


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-17

Das sieht doch gut aus. Dann schlage ich vor du vereinfachst noch den Integranden, und dann integrierst du. Falls du einen kleinen Tipp benötigst: \showon Es bietet sich an, den Integranden als $(1-\cos^2 \theta)\cdot\sin\theta$ zu schreiben (das hätte sich direkt so ergeben, wenn du die Funktion durch $f\!\upharpoonright_M (x,y,z)=x^2 + y^2 = 1-z^2$ ausgedrückt hättest), und geeignet zu substituieren. \showoff Grüße, PhysikRabe


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Dominik1112
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Nach vereinfachen komme ich auf $\int \int sin^3\theta d\phi d\theta$ und es kommt $\frac{4\pi}{3}$ raus.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-17 20:48 - Dominik1112 in Beitrag No. 6) Nach vereinfachen komme ich auf $\int \int sin^3\theta d\phi d\theta$ und es kommt $\frac{4\pi}{3}$ raus. \quoteoff Mit den richtigen Integralgrenzen ist dieses Ergebnis korrekt. (Falls du es nicht schon gemacht hast, könntest du das Integral noch explizit selbst lösen.) Grüße, PhysikRabe


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Dominik1112
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Danke https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/icon7.gif [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Dominik1112 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dominik1112 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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