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Universität/Hochschule Effektivwert einer dreidimensionalen Größe
Nudel
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  Themenstart: 2022-09-20 11:43

Hallo, ich habe aktuell Schwierigkeiten den Hintergrund folgender Aussage inhaltlich zu verstehen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55797_Effektivwert_Berechnung2.png Nehme ich eine dreidimensionale Wechselgröße an, z.B. die o.g. Magnetfeldstärke H, so würde sich meines Erachtens in der aufgespannten x-,y- und z-Ebene folgende vereinfachte Beschreibung für die Einzelfunktionen ergeben: \(h_x(t) = \hat h_x\cdot sin(\omega t + \varphi_1)\) mit \(\varphi_1 = 0\) \(h_y(t) = \hat h_y\cdot sin(\omega t + \varphi_2)\) mit \(\varphi_2 = -120°\) \(h_z(t) = \hat h_z\cdot sin(\omega t + \varphi_3)\) mit \(\varphi_3 = -240°\) Die Phasenwinkel wurden in Anlehnung an ein klassisches Drehstromsystem (Quelle) mit jeweils 120° Phasenversatz gewählt. Eine vereinfachte Darstellung im Raum hätte ich wie folgt angedacht: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55797_Vektor_Magnetfeld2.png Hier ergeben sich für mich mehrere Unklarheiten, wahrscheinlich auch grundsätzliche Verständnisschwierigkeiten: 1. Warum ist es nun zulässig von jeder einzelnen Vektorkomponente im Raum den Einzeleffektivwert zu bilden, diesen dann zu quadrieren und dann aus der Summe aller drei Effektivwerte die Wurzel zu ziehen, um den Gesamteffektivwert zu erhalten? Lässt sich dies herleiten bzw. ist dies auch allgemeingültig für beliebige Frequenzen und Phasenwinkel und noch mehr Komponenten im Raum - quasi ein mehrdimensionaler Effektivwert? 2. Warum verschwindet im Gesamteffektivwert die eigentlich zueinander vorhandene Phasenbeziehung? Wie lässt sich das technisch erklären? 3. Die physikalische Interpretation bereitet mir hier ebenfalls Schwierigkeiten: Müsste ich nicht erstmal in dem gesuchten Punkt alle Vektoren der x-,y- und z-Ebene addieren und daraus dann einen Gesamteffektivwert bilden? Für mich wäre die resultierende Wirkung des magnetisches Wechselfeldes H als Kraft / Leistung in diesem Punkt immer eine eindimensionale Größe (der in blau eingezeichnete resultierende Vektor), sodass ich von dieser eindimensionalen Wechselgröße einen gleichwertigen Effektivwert bilden könnte. Ich hoffe Ihr könnt mir hier weiterhelfen! Danke und Gruß Nudel


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-20 22:01

Der Effektivwert $H_{\rm eff}$ einer $T$-periodischen Magnetfeldstärke $\mathbf H(t)$ ist definiert durch$$ H_{\rm eff}^2 = \frac1T\int_0^T\bigl|\mathbf H(t)\bigr|^2\;\mathrm dt \;. $$Diese Gleichung kann man z.B. so interpretieren, dass ein Magnetfeld der Stärke $\mathbf H(t)$ im zeitlichen Mittel die gleiche Energiedichte besitzt wie ein konstantes Magnetfeld, dessen Stärke den Betrag $H_{\rm eff}$ hat. Mit$$ \frac1T\int_0^T\bigl|\mathbf H(t)\bigr|^2\;\mathrm dt = \frac1T\int_0^T\bigl[H_x(t)^2+H_y(t)^2+H_z(t)^2\bigr]\;\mathrm dt = \frac1T\int_0^TH_x(t)^2\;\mathrm dt + \frac1T\int_0^TH_y(t)^2\;\mathrm dt + \frac1T\int_0^TH_z(t)^2\;\mathrm dt $$kommt man auf die im Startbeitrag angegebene Beziehung$$ H_{\rm eff}^2 = H_{x,\rm eff}^2 + H_{y,\rm eff}^2 +H_{z,\rm eff}^2 \;. $$--zippy


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Nudel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-21 14:30

Danke für die Antwort! Frage: Woher stammt diese Definition der effektiven Magnetfeldstärke $H_{eff}$ und ist dieser Berechnungsansatz der einzig richtige? Denn, ich habe nämlich für die Bildung des Effektivwertes prinzipiell den gleichen Ansatz gewählt, aber für die Magnetfeldstärke $H(t)$ nicht dessen Betrag genommen sondern die Addition der einzelnen Zeiger im Raum: $$\mathbf H(t) = H_x(t) + H_y(t) + H_z(t)$$ Für den Effektivwert habe ich dann das Quadrat von $\mathbf H(t)$ angesetzt, sodass folgt: $$H_{eff}^2 = \frac1T\int_0^T \mathbf H(t)^2\;\mathrm dt \;$$ Diesen Berechnungsweg habe ich dann im zweidimensionalen Raum (y-z-Ebene, d.h. ein infinitesimal kleines Stück des Drehstromleiterbündels der Länge x) durchgerechnet und komme für den 2D-Raum auf das korrekte Ergebnis. Hierbei bin ich davon ausgegangen, dass die einzelnen Zeigerkomponenten $H_y$ und $H_z$ von $t$ abhängig sind und mit der Kreisfrequenz wie folgt schwingen: $$H_y(t) = \hat h_y\cdot cos(\omega t)\\ H_z(t) = \hat h_z\cdot cos(\omega t - \pi/2) = \hat h_z\cdot sin(\omega t) $$ $$H_{eff}^2 = \frac1T\int_0^T\bigl[H_y(t)+H_z(t)\bigr]^2\;\mathrm dt \;$$ Das Quadrat aufgelöst ergibt: $$H_{eff}^2 = \frac1T\int_0^T\biggl[\hat h_y^2\cdot cos^2(\omega t) + 2\cdot \hat h_y\cdot\hat h_z\cdot cos(\omega t)\cdot sin(\omega t) + \hat h_y^2\cdot sin^2(\omega t)\biggr]\;\mathrm dt \;$$ Bilde ich das Integral, so erhalte ich folgendes: $$H_{eff}^2 = \frac1T\biggl[\hat h_y^2\cdot \Bigl(\frac{t}{2} + \frac{sin(2\omega t)}{4\omega}\Bigl) + 2\cdot\hat h_y\cdot\hat h_z\cdot \frac{sin^2(\omega t)}{2\omega} + \hat h_z^2\cdot \Bigl(\frac{t}{2} - \frac{sin(2\omega t)}{4\omega}\Bigl)\biggl]_0^T\;$$ Löse ich das Integral in den Grenzen, so erhalte ich den Effektivwert im zweidimensionalen Raum für die y-z-Ebene: $$H_{eff}=\sqrt{H^2_{y,eff} + H^2_{z,eff}}$$ Für die y-z-Ebene würde ich somit auch auf das Ergebnis kommen, dass die Einzelleffektivwert quadratisch, d.h. auch geoemetrisch addiert werden können. Fragen: 1. Ist dieser Weg auch möglich/korrekt oder ist das Ergebnis nur zufällig richtig? 2. Mein Weg scheint aber auch nur für den zweidimensionalen Raum zu funktionieren. Sobald ich die Komponente $H_z(t)$ mit einer beliebigen Kreisfrequenz dazu nehme, bekomme ich im Integral Mischterme, die nicht null werden, sodass der angestrebte Zielausdruck $$ H_{\rm eff}^2 = H_{x,\rm eff}^2 + H_{y,\rm eff}^2 +H_{z,\rm eff}^2 \;. $$ nicht erreicht wird. Wie müsste ich hier die z-Ebene in den Grundausdruck des Effektivwertes einbinden, um zum gesuchten Zielausdruck zu kommen? Meine Vermutung ist, dass es etwas mit der Orthogonalität der Funktionen zueinander zu tun hat, oder ihr könnt mir direkt den Zahn ziehen, dass ich das so nicht machen kann und ich hier rechnerisch in die völlig falsche Rechnung gelaufen bin ... Anhang: Hinsichtlich y-z-Ebene nochmal ein Bild der von dem Drehstromsystem ausgehenden Feldvektoren, die in der Ebene aber nur reine y- und z-Komponenten bilden: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55797_Magnetfeld_Schnitt.png Vielen Dank und Gruß Nudel


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-21 18:29

Du wirfst die Zahlen $H_x$, $H_y$, $H_z$ und die Vektoren $H_x\,\mathbf e_x$, $H_y\,\mathbf e_y$, $H_z\,\mathbf e_z$ durcheinander. Für den resultierenden Vektor $\mathbf H$, den du in deiner Skizze im Startbeitrag blau dargestellt hast, gilt nicht $\mathbf H=H_x+H_y+H_z$, sondern $\mathbf H=H_x\,\mathbf e_x+H_y\,\mathbf e_y+H_z\,\mathbf e_z$. Folglich fallen auch in dem Quadrat $|\mathbf H|^2=\mathbf H^2$ alle gemischten Terme weg:$$ |\mathbf H|^2=\mathbf H^2=\bigl[ H_x\,\mathbf e_x+H_y\,\mathbf e_y+H_z\,\mathbf e_z\bigr]^2 = H_x^2+H_y^2+H_z^2$$


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Nudel
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 15:31

Okay, ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen ... Ich habe den einzelnen Zeitfunktionen der Magnetfelder $H(t)$ keinen räumlichen Bezug gegeben, sodass sich rechnerisch auch nichts sinnvolles ergeben konnte. Zum Verständnis würde ich das nochmal wie folgt zusammenfassen wollen: Für jede Richtung im euklidischen Raum (x,y,z) kann das magnetische Feld $H(t)$ mit einer beliebigen und untereinander unabhängigen Funktion beschrieben werden. Als Beispiel sollen einmal folgende Funktionen angesetzt werden, wobei in z-Richtung ein magn. Gleichfeld unabhängig von $t$ wirken soll: $$H_x(t) = \hat h_x \cdot sin(\omega_1 t)$$ $$H_y(t) = \hat h_y \cdot cos(\omega_2 t + \varphi)$$ $$H_z(t) = H_z$$ Um den physikalischen Zusammenhang richtig abzubilden, muss ich den einzelnen Funktionen den jeweiligen Einheitsvektor zuordnen, um dadurch einen eindeutigen Raumbezug zu erhalten. Die Einheitsvektoren werden mit$$ \vec{e}_x= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \vec{e}_y= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \vec{e}_z= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) $$beschrieben, sodass die reinen Zeitfunktionen $H(t)$ dann in entsprechende Vektorfunktionen (richtiges Wort?) übergehen: $$\mathbf H_x(t) = H_x(t)\cdot \vec{e}_x$$ $$\mathbf H_y(t) = H_y(t)\cdot \vec{e}_y$$ $$\mathbf H_z(t) = H_z(t)\cdot \vec{e}_z$$ Die resultierende Vektorfunktion des Magnetfeldes $\mathbf H(t)$ im Raum (in der Skizze blau) ergibt sich dann in der Komponentenschreibweise zu: $$\mathbf H(t) = \mathbf H_x(t) + \mathbf H_y(t) + \mathbf H_z(t) = H_x(t)\cdot \vec{e}_x + H_y(t)\cdot \vec{e}_y + H_z(t)\cdot \vec{e}_z$$ Bilde ich aus dieser resultierenden Vektorfunktion $\mathbf H(t)$ den Effektivwert, so folgt mit $$H_{\rm eff}^2 = \frac1T\int_0^T\mathbf H(t)^2\;\mathrm dt$$ und $\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y = \vec{e}_x\cdot\vec{e}_z = \vec{e}_y\cdot\vec{e}_z= 0$, dass alle Mischterme wegfallen. Daraus resultierend ergibt sich dann: $$\mathbf H(t)^2 = H^2_x(t) + H^2_y(t) + H^2_z(t)$$ Für den resultierenden Effektivwert $H_{eff}$ (Skalar) der Vektorfunktion $\mathbf H(t)$ ergibt sich nach Auflösen des Integrals dann folgendes bei Berücksichtigung der o.g. Funktionen $H_x(t)$, $H_y(t)$ und $H_z(t)$: $$H_{eff}^2 = \frac1T\Biggl[\hat h_x^2\cdot \Bigl(\frac{T}{2}\Bigl) + \hat h_y^2\cdot \Bigl(\frac{T}{2}\Bigl) + H_z^2\cdot T\Biggl]$$ Aufgelöst nach $H_{eff}$ folgt dann: $$H_{eff}=\sqrt{H^2_{x,eff} + H^2_{y,eff} + H^2_{z}}$$ Nun ist auch ersichtlich, dass sowohl die konkrete Frequenz des jeweiligen magnetischen Feldes als auch ein eventueller Phasenwinkel bei der Bildung des Effektivwertes keine Rolle spielen. Dies würde dann auch den Satz aus dem ersten Beitrag "Gleichung (6) gilt unabhängig von den Phasenbeziehungen zwischen den einzelnen Komponenten der magnetischen Feldstärke" erklären. Ist meine Zusammenfassung sowohl vom Rechenweg als auch von den Begrifflichkeiten richtig? Wäre die vereinfachte Berechnung (d.h. die Wurzel aus den quadratischen Einzeleffektivwerten - quasi der Satz des Pythagoras) auch für beliebige überlagerte Magnetfelder in der jeweiligen Richtung möglich? Beispiel: $$H_x(t) = \hat h_{x1} \cdot sin(\omega_1 t + \varphi_1) + \hat h_{x2} \cdot cos(\omega_2 t + \varphi_2)$$ $$H_y(t) = \hat h_{y1} \cdot cos(\omega_3 t + \varphi_3) + H_y + \hat h_{y2} \cdot cos(0,4\cdot\omega_4 t + \varphi_4)$$ $$H_z(t) = H_z$$


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-22 19:35

\quoteon(2022-09-22 15:31 - Nudel in Beitrag No. 4) Wäre die vereinfachte Berechnung (d.h. die Wurzel aus den quadratischen Einzeleffektivwerten - quasi der Satz des Pythagoras) auch für beliebige überlagerte Magnetfelder in der jeweiligen Richtung möglich? \quoteoff Solange alle Komponenten $T$-periodisch sind, gibt es überhaupt kein Problem, da ja lediglich die Beziehung $|\mathbf H|^2= H_x^2+H_y^2+H_z^2$ und die Linearität des Integrals ausgenutzt wird. Wenn es keine gemeinsame Periode gibt, musst du die Definition des Effektivwerts anpassen und etwa zu $X_{\rm eff}^2=\lim_{T\to\infty} \frac1T\int_0^TX(t)^2\,\mathrm dt$ übergehen. Da aber die Abbildung $X^2\mapsto X_{\rm eff}^2$ immer noch linear ist, ändert sich an der Argumentation nichts.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 22:11

\quoteon(2022-09-22 19:35 - zippy in Beitrag No. 5) Solange alle Komponenten $T$-periodisch sind, gibt es überhaupt kein Problem, da ja lediglich die Beziehung $|\mathbf H|^2= H_x^2+H_y^2+H_z^2$ und die Linearität des Integrals ausgenutzt wird. \quoteoff Mit T-Periodisch sind alle Vielfachen der Periodendauer T gemeint? In der Rechnung würde das passen, da sich alle sin- oder cos-Integrale dann auflösen (Vielfache von $2\pi$). Ist hier auch der direkte Zusammenhang zur Berechnung des Effektivwertes bei Oberschwingungen zu sehen? Hier werden ja auch alle Einzeleffektivwerte der n-ten Oberschwingung quadriert und aufsummiert. \quoteon Wenn es keine gemeinsame Periode gibt, musst du die Definition des Effektivwerts anpassen und etwa zu $X_{\rm eff}=\lim_{T\to\infty} \frac1T\int_0^TX(t)\,\mathrm dt$ übergehen. Da die Abbildung $X\mapsto X_{\rm eff}$ aber immer noch linear ist, ändert sich an der Argumentation nichts. \quoteoff Wie würde das für $T\to\infty$ konkret funktionieren? Für eine quadrierte Schwingung $\hat h^2 \cdot sin^2(\omega t)$ bekomme ich als Teilintegral für $T\to\infty$$$ \frac{\hat h^2}{T}\biggl[\Bigl(\frac{t}{2} - \frac{sin(2\omega t)}{4\omega}\Bigl)\biggl]_0^T$$ wobei ja mit $T\to\infty$ sich der Sinus-Anteil nicht raushebt. Wo liegt hier der Fehler? Und würde ein Effektivmesswertgerät somit für kurze Periodendauern bei solchen gemischten Signalen (nicht T-Periodisch) quasi fehlerhaft sein und erst mit der Zeit $T\to\infty$ korrekt Effektivwerte von solchen Signalen messen/berechnen?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-22 23:23

\quoteon(2022-09-22 22:11 - Nudel in Beitrag No. 6) Mit T-Periodisch sind alle Vielfachen der Periodendauer T gemeint? \quoteoff Ja. \quoteon(2022-09-22 22:11 - Nudel in Beitrag No. 6) In der Rechnung würde das passen, da sich alle sin- oder cos-Integrale dann auflösen (Vielfache von $2\pi$). \quoteoff Das ist ohne Annahmen an die $\omega_i$ nicht richtig. \quoteon(2022-09-22 22:11 - Nudel in Beitrag No. 6) Wie würde das für $T\to\infty$ konkret funktionieren? \quoteoff Beachte, dass ich oben ein paar Quadrate vergessen hatte. \quoteon(2022-09-22 22:11 - Nudel in Beitrag No. 6) Und würde ein Effektivmesswertgerät somit für kurze Periodendauern bei solchen gemischten Signalen (nicht T-Periodisch) quasi fehlerhaft sein und erst mit der Zeit $T\to\infty$ korrekt Effektivwerte von solchen Signalen messen/berechnen? \quoteoff Wenn man den Grenzwert $T\to\infty$ durchführt, ist der Effektivwert eine Konstante. Der zeitabhängige Effektivwert, den ein Effektivmesswertgerät anzeigt, ist nicht dieser Grenzwert. Der Effektivwert einer nicht periodischen Funktion ist aber ein Thema für sich, das für die ursprüngliche Frage in diesem Thread unwesentlich ist.


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Nudel
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24 23:15

Richtig, die Annahme über die $\omega_i$ muss natürlich stimmen. Damit es passt, müssten ausgehend von den o.g. Funktionen $$H_x(t) = \hat h_{x1} \cdot sin(\omega_1 t + \varphi_1) + \hat h_{x2} \cdot cos(\omega_2 t + \varphi_2)$$ $$H_y(t) = \hat h_{y1} \cdot cos(\omega_3 t + \varphi_3) + H_y + \hat h_{y2} \cdot cos(0,4\cdot\omega_4 t + \varphi_4)$$ $$H_z(t) = H_z$$ die einzelnen Kreisfrequenzen $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \tiny 0,4$$\cdot\omega_4$ zueinander jeweils ein ganzzahliges (und damit T-periodisches) Verhältnis aufweisen. Die Mischterme des Integrals würden dann wegfallen, oder? \quoteon(2022-09-22 22:11 - Nudel in Beitrag No. 6) Wie würde das für $T\to\infty$ konkret funktionieren? \quoteoff \quoteon(2022-09-22 23:23 - zippy in Beitrag No. 7) Beachte, dass ich oben ein paar Quadrate vergessen hatte. \quoteoff Was ist damit genau gemeint? Ich muss mich nämlich auch hier korrigieren, denn entgegen meiner ersten Aussage müssten für unterschiedliche $\omega_i, \varphi_i$ dennoch alle Mischterme bei Annahme $T\to\infty$ wegfallen. Am Beispiel für die obige Funktion $H_x(t)$ gilt nämlich: $$H_{\rm x,eff}^2=\lim_{T\to\infty} \frac1T\int_0^TH_x(t)^2\,\mathrm dt = \lim_{T\to\infty} \frac1T\int_0^T\biggl[\hat h_{x1} \cdot sin(\omega_1 t + \varphi_1) + \hat h_{x2} \cdot cos(\omega_2 t + \varphi_2)\biggl]^2\mathrm dt$$ Nach Lösen des Integrals folgt: $$H_{\rm x,eff}^2 = \frac1T\biggl[\hat h_{x1}^2\cdot \Bigl(\frac{t}{2} + \frac{sin(2\omega_1 t +2\varphi_1)}{4\omega_1}\Bigl) + 2\cdot\hat h_{x1}\cdot\hat h_{x2}\cdot\Bigl(\dfrac{\cos\left(\left({\omega}_2-{\omega}_1\right)t+{\varphi}_2-{\varphi}_1\right)}{2\left({\omega}_2-{\omega}_1\right)}-\dfrac{\cos\left(\left({\omega}_2+{\omega}_1\right)t+{\varphi}_2+{\varphi}_1\right)}{2\left({\omega}_2+{\omega}_1\right)}\Bigl) + \hat h_{x2}^2\cdot \Bigl(\frac{t}{2} - \frac{sin(2\omega_2 t + 2\varphi_2))}{4\omega_2}\Bigl)\biggl]_0^T\;$$ Mit $T\to\infty$ im Nenner sollten meines Erachtens alle Sinus- und Cosinus-Terme wegfallen, sodass dann tatsächlich nur noch die Effektivwerte der einzelnen Schwingungen übrig bleiben: $$H_{\rm x,eff}=\sqrt{H^2_{x1,eff} + H^2_{x2,eff}}$$ Dies müsste dann der von dir genannte (konstante) Grenzwert für $T\to\infty$ sein. Das hieße dann aber für mich auch, dass bei einer immer kleiner werdenden Periodendauer $T$ (ausgehend von $T\to\infty$) die Sinus- und Cosinus-Terme nicht mehr wegfallen und immer mehr an Einfluss gewinnen. Ohne ein neues Thema aufmachen zu wollen, aber von der Logik her müsste dann das Ergebnis für immer kleiner werdende Periodendauern $T$ immer ungenauer werden, oder? Abschließend hätte ich noch eine Frage: Für den resultierenden Gesamt-Effektivwert im Raum $H_{\rm eff}^2$ würden ja alle Einzel-Effektivwerte (d.h. die Effektivwerte der x-,y- und z-Komponente mit $H^2_{\rm x,eff}, H^2_{\rm y,eff}, H^2_{\rm z}$) addiert werden. Wie am obigen Beispiel zu sehen, könnten diese Effektivwerte ja wiederum aus mehreren Anteilen bestehen (z.B. für die x-Komponente mit o.g. $H^2_{\rm x,eff}=H^2_{\rm x1,eff} + H^2_{x2,eff}$). Das heißt für mich dann auch, dass der wirklich resultierende Gesamt-Effektivwert auch aus der Summe aller einzelnen Einzel-Effektivwerte gebildet wird, oder? Bezogen auf das o.g. Beispiel müsste der Gesamt-Effektivwert dann sein ($H^2_{y,eff}$ nicht genauer bestimmt): $$H_{eff}=\sqrt{H^2_{x1,eff} + H^2_{x2,eff}+ H^2_{y,eff} + H^2_{z}}$$ Sollten also x Signale (im einfachsten Fall T-periodisch) in beliebiger Raumrichtung wirken, könnte ich theoretisch von jedem den Effektivwert bilden und dann alle quadratisch addieren, richtig?


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