Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbarkeit, Stetigkeit, Funktionen
Autor
Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit, Stetigkeit, Funktionen
Lau
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.09.2022
Mitteilungen: 16
  Themenstart: 2022-09-20 14:36

Hallo Ich bin bei der Klausurvorbereitung auf folgende Aufgabe gestoßen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55851_45.PNG Das sind meine Lösungen dazu: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55851_46L.PNG Ist das so richtig?


   Profil
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1615
Wohnort: Freiburg
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-20 14:45

Hallo Lau, die b) ist OK, die a) aber nicht, denn \(\infty\) ist keine reelle Zahl und damit ist kein Gegenbeispiel hinfällig. Übrigens muss eine Ausnahmestelle, wie bei der b) nicht unbedingt an der Intervallgrenze liegen, betrachte z.B. \(f(x)=x^3\) im Intervall \([-1,1]\). lg Wladimir


   Profil
Lau
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.09.2022
Mitteilungen: 16
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-20 14:54

Hallo Wladimir, danke für deine schnelle Antwort. Ich setze mich gleich nochmal an die Aufgabe. Ich habe da dann nochmal eine allgemeine Frage. Sagt man "Der Grenzwert von f´(x) für x gegen a existiert nicht", wenn der Grenzwert uneigentlich ist? Also muss der Grenzwert endlich sein, um zu sagen dass er existiert?


   Profil
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1615
Wohnort: Freiburg
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-20 15:24

Hallo, \quoteon(2022-09-20 14:54 - Lau in Beitrag No. 2) Sagt man "Der Grenzwert von f´(x) für x gegen a existiert nicht", wenn der Grenzwert uneigentlich ist? Also muss der Grenzwert endlich sein, um zu sagen dass er existiert? \quoteoff ja der Grenzwert muss eine reelle Zahl sein, wenn nichts anderes gesagt ist. Möchte man \(\pm \infty\) wie reelle Zahlen behandeln, so muss man zu \(\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\}\) übergehen. lg Wladimir


   Profil
Lau
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.09.2022
Mitteilungen: 16
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-20 15:57

Danke. Ich konnte kein Gegenbeispiel finden. Deshalb vermute ich mal, dass die Aussage wahr ist. Mir fällt aber auch kein Ansatz ein, wie ich das beweisen könnte.


   Profil
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1615
Wohnort: Freiburg
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-20 18:01

Hallo, zum Beweis verwende den Mittelwertsatz der Differentialrechnung und die Definition der Ableitung in a, am besten in der "h-Schreibweise". Beachte, dass es sich bei der Differenzierbarkeit in a eigentlich nur um Rechts-Differenzierbarkeit handelt. lg Wladimir


   Profil
Lau
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.09.2022
Mitteilungen: 16
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 22:10

Ich hab mich nochmal an den Beweis gesetzt, aber ich komme immer noch nicht weiter. Wie kann ich die Existenz des Grenzwerts von f´ in a in dem Beweis nutzen?


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1634
Wohnort: Köln
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-22 23:39

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, beginne doch einfach mal mit der Definition. Zu zeigen ist, dass $$ \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$ existiert. Nun könntest du den Tipp von wladimir_1989 mit dem Mittelwertsatz verwenden. Für jedes $x\in (a,b]$ gibt es ein $\xi_x$ zwischen $x$ und $a$ mit $$ f(x)-f(a)=f'(\xi_x)(x-a). $$ Damit ist also $$ \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a} f'(\xi_x). $$ Nun musst du das Argument noch zu Ende führen. LG Nico Anmerkung: In dieser Formulierung benötigt man das Auswahlaxiom um die Existenz der Funktion $(a,b]\to \mathbb R, \ x\mapsto \xi_x$ zu sichern. Man könnte die Existenz des Grenzwertes aber auch mit Hilfe von Folgen umschreiben. Dann würde bereits das Axiom der abzählbaren Auswahl für diese Formulierung ausreichen.\(\endgroup\)


   Profil
Lau hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Lau hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]