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Schule Geradengleichungen
Neutronenstern1
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  Themenstart: 2022-09-22 14:44

In der Schule lernt man ja die Parameterform und die Normalenform einer 3D Gerade kennen. Damals meinte der Mathelehrer es gäbe keine (er meinte natürlich Skalarwertige) Funktion für eine Gerade in 3D. (bin mir nicht sicher ob er Funktion oder sogar Gleichung geneint hat). Dass es keine Funktion geben kann, ist ziemlich einleuchtend. Jedoch habe ich mir jetzt 2 Jahre nach dem Abi aus interresse mit einer kleinen Idee eine Skalarwertige Gleichung gebastelt, welche eine Gerade beschreibt. Online finde ich dazu nichts. Ist diese Idee so abwägig oder etwa neuartig? Denn eigentlich ist es sehr simpel: Man nehme eine Ebene der Form: z=a*x (a ist eine bel. Konstante) und eine zweite der Form: z=b*y (b ist eine bel. Konstante) nun hat die Schnittgerade eine Steigung von a in x-Richtung und eine Steigung von b in y-Richtung. Nun formt man beide Gleichungen um, und erhält: I):a*x-z=0 II):b*y-z=0 Nun dachte ich ewig, wie bringt man beides unter einen Hut. Was aber seeehr einfach ist,denn (a*x-z)^2+(b*y-z)^2=0 <=>I=II=0 . Das wäre nun meine gebastelte Skalarwertige Gleichung für eine 3D Gerade. Eigentlich dürfte das doch für die Schule vollkommen machbar, sehr interressant und Logikfördernd sein. Warum wird es nicht gelehrt, und warum findet man dazu nichts. (mit 2 oder mehr Funktionen kann man dann auch mit ähnlicher Idee in 2D Graphen wie ((x-3)*(x+3)*2/5-y*(x-3)*(-(x+3)*x^2*1/10-y)=0 basteln, was in der Schule doch auch n bissl spaß machen könnte)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-22 14:54

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, die Idee ist verlockend, funktioniert aber nicht wirklich. Man rechnet leicht nach, dass die Gleichung \((ax-z)^2+(by-z)^2=0\) zwar tatsächlich eine Gerade beschreibt. Der Haken daran: das ist eine Ursprungsgerade mit dem Richtungsvektor \((b,a,ab)^T\). Insofern also nicht wirklich allgemein brauchbar. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant]\(\endgroup\)


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Neutronenstern1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 15:12

\quoteon(2022-09-22 14:54 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, die Idee ist verlockend, funktioniert aber nicht wirklich. Man rechnet leicht nach, dass die Gleichung \((ax-z)^2+(by-z)^2=0\) zwar tatsächlich eine Gerade beschreibt. Der Haken daran: das ist eine Ursprungsgerade mit dem Richtungsvektor \((b,a,ab)^T\). Insofern also nicht wirklich allgemein brauchbar. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant] \quoteoff Hallo, Ja da hab ich leider was vergessen. Eine Verschiebung in x, y und z richtung sollte mit der substitution x'=x-x0), y'=y-y0 und z'=z-z0 möglich sein, wodurch aus einer Ursprungsgerade eine belibige Gerade werden sollte. Gruß Neutronenstern


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-22 15:13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Nachtrag: Man kann das natürlich verallgemeinern. Für jede Gerade im \(\IR^3\) gibt es Paare von Ebenen der Form \(ax+by+cz+d=0\), so dass die Schnittmenge dieser Ebenen die fragliche Gerade ist. Du hättest dann eine Gleichung der Form: \[g:\quad(ax+by+cx-d)^2+(ex+fy+gz-h)^2=0\] Acht Parameter, um eine Gerade zu beschreiben. Und noch gravierender: du siehst zwei solchen Gleichungen nicht an, ob sie unterschiedliche Geraden beschreiben oder die gleiche. Einmal ganz abgesehen vom Rechenaufwand, den das nach sich ziehen würde. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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Neutronenstern1
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 15:25

Achso eigentlich ist meine Verschiebung in z-Richtung ja unnötig, da dies ja quasi schon durch eine Verschidbung in x und y Richtung geschieht. Man kann somit die Gerade mit 4 Parametern angeben: (a(x-x0)-z)^2+(b(y-y0)-z)^2=0 So sollte es keine Gerade doppelt geben, und in dieser Form wäre auch alles schön erkennbar.Für eine einfache übertragung in Vektorschreibweise, kann der Punkt (x0,y0,0) aps Aufpunkt gewählt werden. Die Richtung erschließt sich dann einfach über a und b. So sollte eigentlich auch schon im Kopf klar sein, wie die Gerade aussieht. (alleine anhand der obigen Gleichung)


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-22 15:33

\quoteon(2022-09-22 15:25 - Neutronenstern1 in Beitrag No. 4) Achso eigentlich ist meine Verschiebung in z-Richtung ja unnötig, da dies ja quasi schon durch eine Verschidbung in x und y Richtung geschieht. Man kann somit die Gerade mit 4 Parametern angeben: (a(x-x0)-z)^2+(b(y-y0)-z)^2=0 \quoteoff Wie stellst du so eine achsenparallele Gerade dar? Gruß, Diophant


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Neutronenstern1
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 15:56

Hallo, Ja da hast du recht. Achsparallele Geraden stellen in dieser schreibweise ein Problem dar, da sie mit dieser Darstellung oftmals nicht erreichbare Grenzwerte darstellen. Wärend die Gerade g:=(0,1,0)+λ(1,0,0) darstellbar ist (a=0,b=1,x0=0,y0=1), sind andere Geraden wie f:=(0,1,0)+λ(0,0,1) so nicht darstellbar (nur als Grenzwert). es müsste dann a und b gegen unendlich gehen,und x0 wäre natürlich 0 y0 wäre natürlich 1. Aber wenn wir mal diese Grenzwerte außer Acht lassen, welche im Falle von zur y-Achse parallelen Geraden in 2D ja auch in Form einer Funktion nicht möglich sind, müssten alle anderen Geraden ja so beschrieben werden können, oder irre ich mich und es gibt noch mehr Ausnahmen? Gruß, Neutronenstern [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-22 16:45

\quoteon(2022-09-22 15:56 - Neutronenstern1 in Beitrag No. 6) Hallo, Ja da hast du recht. Achsparallele Geraden stellen in dieser schreibweise ein Problem dar, da sie mit dieser Darstellung oftmals nicht erreichbare Grenzwerte darstellen. Wärend die Gerade g:=(0,1,0)+λ(1,0,0) darstellbar ist (a=0,b=1,x0=0,y0=1), sind andere Geraden wie f:=(0,1,0)+λ(0,0,1) so nicht darstellbar (nur als Grenzwert). es müsste dann a und b gegen unendlich gehen,und x0 wäre natürlich 0 y0 wäre natürlich 1. Aber wenn wir mal diese Grenzwerte außer Acht lassen, welche im Falle von zur y-Achse parallelen Geraden in 2D ja auch in Form einer Funktion nicht möglich sind, müssten alle anderen Geraden ja so beschrieben werden können, oder irre ich mich und es gibt noch mehr Ausnahmen? \quoteoff Wenn ich nichts übersehe, müssten in deiner Version alle Geraden darstellbar sein, bis auf: - alle Geraden, die parallel zur z-Achse sind - alle Geraden, die parallel zu einer der beiden anderen Achsen sind und nicht in der xy-Ebene liegen (also eine z-Koordinate ungleich Null haben) Meine Version aus Beitrag #3 deckt jedoch auch diese Fälle ab. So: jetzt erkläre das mal in einer 10. Klasse... 😉 Gruß, Diophant


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Neutronenstern1
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 17:07

Nachtrag Wenn man auch Geraden darstellen will, welche parallel zur x oder y Achse ist, benötigt man eine leicht abgewandelte Form (a*x-z-x0')^2+(b*y-z-y0')^2=0 mit x0=x0'/a für a≠0 und y0=y0'/b für b≠0. Für Geraden parallel zur z-Achse bräuchte man einfach nur ne 2. Form, bei welcher man die Variable z entweder mit der x oder y Variable vertauscht. N bissl murks und Fallunterscheidung, aber ich denke wenn es nicht mehr probleme gibt, trotzdem nicht schlecht, oder etwa doch? Gruß, Neutronenstern [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Caban
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-09-22 19:50

Hallo Das klappt so nicht, zhängt immer noch von x und y ab. Gruß Caban


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Neutronenstern1
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22 20:24

\quoteon(2022-09-22 19:50 - Caban in Beitrag No. 9) Hallo Das klappt so nicht, zhängt immer noch von x und y ab. Gruß Caban \quoteoff Naja also z hängt zwar von x und y ab, aber du findest keine Funktion z(x,y), da du es nicht ohne +/- oä. auflösen kannst. Außerdem kannst du ja mal ein paar Beispiele plotten, und wirst erkennen, dass es eine Gerade ergibt. Die Frage ist nur, ob man alle Geraden damkt darstellen kann, und das ist ohne Fallunterscheidung und somit einer 2. Form für Spezialfälle nicht der Fall. (nicht so, wie ich es dargestellt habe). Jedoch mit der oben erklärten Fallunterscheidung müsstest du mir schon weiter erklären, warum es nicht möglich ist. Gruß Neutronenstern


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-09-23 08:35

Eine einfacherer Version ergibt sich aus der Abstandsformel. \[g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}\] \[\Rightarrow d = \frac{|(\vec{x}-\vec{p})\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\] \[\Rightarrow ((\vec{x}-\vec{p})\times \vec{u})^2 = 0\] Ausmultiplizieren ergibt eine skalare Formel ähnlich zur obigen.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-09-23 17:29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @DerEinfaeltige: \quoteon(2022-09-23 08:35 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 11) Eine einfacherer Version ergibt sich aus der Abstandsformel. \[g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}\] \[\Rightarrow d = \frac{|(\vec{x}-\vec{p})\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\] \[\Rightarrow ((\vec{x}-\vec{p})\times \vec{u})^2 = 0\] Ausmultiplizieren ergibt eine skalare Formel ähnlich zur obigen. \quoteoff Das ist natürlich auch cool. Aber im Sinne des TS nicht das, was angestrebt ist: eine vektorfreie Darstellung. Die kann man durch Umformen natürlich daraus machen: dann hat man drei quadrierte Klammern anstatt zwei. Oder wiederum daraus resultierend: ein 3x3-LGS mit Rang 2. Ob man das dann noch als "einfacher" bezeichnen kann? 😉 Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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