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Analysis » Funktionen » Funktion, welche eine Bedingung maximiert
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Beruf Funktion, welche eine Bedingung maximiert
mik92
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  Themenstart: 2022-09-24

Hallo Unter allen Funktionen f(x), welche denselben Wert \( \int_{0}^{x_0} f^2(x)dx\) aufweisen, mit \(x_0\) einer positiven rellen Zahl, ist diejenige Funktion gesucht, welche \(\int_{0}^{x_0} f(x) \int_{0}^{x} f(u)dudx \) maximiert. Einsetzen von ein paar konkreten Funktionen führen auf die Vermutung, dass die konstante Funktion die Lösung ist. Wie könnte das allgemein gezeigt werden? Vielen Dank im Voraus Bem: Die Frage hat folgenden technischen Hintergrund. Für eine half-bridge-inverter mit beliebigem Kondensatorwert C ist diejenige Stromform i_o(t) am Inverterausgang gesucht, mit welchem sich die maximale mittlere Wirkleistung bei gegebener Halbleiterbelastung (nur Leitverluste berücksichtigt) übertragen lässt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52558_IMG_20220924_203910.jpg


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-24

Da du zu jeder Lösung dieses Optimierungsproblems eine Lösung mit $J(f):=\int_0^{x_0}f(x)\,\mathrm dx\ge0$ findest, kannst du dich auf Funktionen mit dieser Eigenschaft beschränken und dann statt $J(f)^2$ einfach $J(f)$ maximieren. Damit kannst du das Problem geometrisch in $L^2[0,x_0]$ formulieren: Für eine feste Norm $\|f\|$ soll das Produkt $\langle 1,f\rangle$ maximal werden. Die Lösungen dieses Problems sind nicht-negative Vielfache von $1$, also insbesondere konstante Funktionen. --zippy


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mik92
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 21:18 - zippy in Beitrag No. 1) Da du zu jeder Lösung dieses Optimierungsproblems eine Lösung mit $J(f):=\int_0^{x_0}f(x)\,\mathrm dx\ge0$ findest, kannst du dich auf Funktionen mit dieser Eigenschaft beschränken und dann statt $J(f)^2$ einfach $J(f)$ maximieren. --zippy \quoteoff Ist das vorgegebene Optimierungskriterium \(\int_{0}^{x_0}f(x)\int_{0}^{x}f(u)dudx = \int_{0}^{x_0}f(x)[F(x)-F(0)]dx\) als \(J(f)^2 \)darstellbar? \(J(f)^2\) wäre doch \([\int_{0}^{x_0}f(x)dx]^2\)


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-24

Nein, das ist es nicht. Ich habe das $x$ als $x_0$ gelesen. Mit der richtigen Lesart lautet die zu optimierende Funktion$$ \int_0^{x_0}\!\int_0^{x_0}f(u)\,f(v)\,1_{\{u\ge v\}}(u,v)\, \mathrm du\,\mathrm dv = \frac12\int_0^{x_0}\!\int_0^{x_0}f(u)\,f(v)\, \mathrm du\,\mathrm dv = \frac12\left[\int_0^{x_0}f(u)\,\mathrm du\right]^2 = \frac12\,J(f)^2 \;, $$was dann aber wieder auf dasselbe hinausläuft.


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mik92
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

Ok. Diese Kette von Symmetrieargumenten ist nachvollziehbar. Top. Danke


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mik92 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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