Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Nachweis einer natürlichen Transformation
Autor
Universität/Hochschule J Nachweis einer natürlichen Transformation
Arccos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.07.2022
Mitteilungen: 37
  Themenstart: 2022-09-27

Sei \(S \in Obj(Set)\) eine feste Menge. Für \(X \in Obj(Set)\) definiere \( X^S := \{h:S \rightarrow X |\, h\, Abbildung\}\). Betrachte den Funktor \(F^S:Set \rightarrow Set , X \mapsto X^S , (f:X \rightarrow Y) \rightarrow (f^S:X^S \rightarrow Y^S , h \mapsto f°h\) Zu zeigen: \(\forall t \in S\) die Einsetzungsabbildung \(e^t_X:F^S(X) \rightarrow X \, mit \, e^t_X(h) = h(t)\) eine natürliche Transformation ist. Zuerst habe ich mir mal ein Diagramm aufgezeichnet. \[ \underset{F^S(Y)}{\underset{\;}{\underset{F^S(f) \downarrow}{\underset{\;}{F^S(X)}}}} \underset{\rightarrow}{\underset{e^t_Y}{\underset{\,}{\underset{e^t_X}{\rightarrow}}}} \underset{Y}{\underset{\;}{\underset{f \downarrow}{\underset{\;}{X}}}} \] Da hätte ich schon eine Frage, habe ich das Diagramm so richtig gemacht? Wie haben in der Definition immer zwei Funktoren, aber hier habe ich "nur" f auf der rechten Seite, daher bin ich mir unsicher. Weiter habe ich dann noch gezeigt, dass das Diagramm kommutiert. \(f(e^t_X(h)) = f(h(t))\) und \(e^t_Y(F^S(f(h))) = f(h)(t) = f(h(t))\) Damit ist ja dann schon gezeigt, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt. Wenn mir jemand dazu Feedback geben könnte wäre ich sehr dankbar.


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3500
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-27

Hallo, das ist technisch richtig, allerdings solltest du natürlich schon noch herausfinden, was der andere Funktor ist. Eine natürliche Transformation ist ja immer zwischen zwei Funktoren definiert. [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Kategorientheorie' von ligning]


   Profil
Arccos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.07.2022
Mitteilungen: 37
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

Vielen Dank für deine Antwort. Könnte ich den Funktor dann folgendermaßen definieren: \(G:(f:X \rightarrow Y) \rightarrow (f:X \rightarrow Y)\) Also einen Identitäts-Funktor, muss ja dann nur noch zeigen, dass es sich dabei um einen Funktor handelt. Änderung: Ich habe vergessen es auch für die Objekte zu definieren, da wäre es für ein Objekt X: G(X) = X


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3500
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-27 12:51 - Arccos in Beitrag No. 2) Identitäts-Funktor \quoteoff Bingo.


   Profil
Arccos hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Arccos hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]