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Analysis » Maßtheorie » Gegenbeispiel Maßeindeutigkeit schnittstabiler Erzeuger
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Universität/Hochschule Gegenbeispiel Maßeindeutigkeit schnittstabiler Erzeuger
InOMatrix
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  Themenstart: 2022-09-30

Hallo, ich bin aktuell auf der Suche nach einem Gegenbeispiel für folgende Aussage: \ Seien $\mu$, $\nu$ zwei Maße auf $(\IR,B(\IR))$, sodass für alle $a,b\in\IR$, $a<=b$ gilt: $\mu([a,b])=\nu([a,b])$. Dann gilt $\mu=\nu$. Mir ist bekannt, dass zwei Maße auf einem messbaren Raum $(\Omega,\mathcal{A})$ gleich sind, falls $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{A}$, $\mathcal{E}$ $\cap$-stabil ist, $\mu|_\mathcal{E}=\nu_\mathcal{E}$ und $\mu,\nu$ beide $\sigma$-endlich auf $\mathcal{E}$ sind. In der Aussage oben sind soweit alle Voraussetzungen erfüllt, bis auf die $\sigma$-Endlichkeit. Ich habe schon versucht, mit den bekannten Maßen wie Zählmaß, Lebesgue-Maß oder Diracmaß ein Gegenbeispiel zu konstruieren, bin da aber nicht weitergekommen. Die Erzeugermenge hier ist nämlich die Menge der abgeschlossenen und nicht der halboffenen Intervalle, sonst hätte ich mit dem Zählmaß schnell ein Beispiel basteln können. Ich bin zumindest soweit, dass ich sicher bin, dass die Werte von $\mu$ und $\nu$ auf (einigen) abgeschlossenen Intervallen auch den Wert unendlich annehmen müssen, sonst sind die Maße nämlich doch $\sigma$-endlich und dann haben wir kein Gegenbeispiel mehr. Hat hier jemand eine Idee und kann mir weiterhelfen?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, deine Ausführungen klingen nicht verkehrt! Wie wäre es, wenn $\mu$ das Zählmaß und $\nu$ das Maß gegeben durch $\nu(\emptyset)=0$ und $\nu(A)=\infty$ für $A\neq \emptyset$ ist? Kannst du diese beiden Maße noch ein bisschen modifizieren, so dass es passt? Ein Problem besteht nun noch bei den einelementigen Mengen. LG Nico [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)


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InOMatrix
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-01

Hallo nzimme10, danke für Deinen Hinweis. So in etwa hatte ich mir das schon gedacht, dass man vielleicht zwei Maße konstruieren kann, bei denen das eine "häufiger" den Wert unendlich annimmt als das andere. Die Frage ist wirklich, wie mit den einelementigen Mengen verfahren wird. Ich nehme mal im Folgenden an, es gäbe ein Gegenbeispiel, sodass alle Punktmengen das gleiche Maß haben, also $a:=\mu([x,x])=\mu(\{x\})=\nu(\{x\})$ für alle $x\in\mathbb{R}$. Angenommen, $\mu(\{x\})>0$, dann ist das Maß $\mu$ und $\nu$ bereits eindeutig gegeben durch $A\longmapsto a\cdot\lvert A\rvert$, also das $a$-fache Zählmaß und insbesondere $\mu=\nu$, was dann kein Gegenbeispiel mehr ist. Also wenn es ein Gegenbeispiel gibt, sodass Punktmengen alle das gleiche Maß haben, so müssen die Maß Null haben. Insbesondere folgt dann für alle endlichen und abzählbaren Mengen $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, dass $\mu(A)=\nu(A)=0$. Soweit so gut Deinen Vorschlag für $\nu$ könnte ich zum Beispiel so ändern, dass ich $\nu(A):=0$ für alle endlichen und abzählbar unendlichen Mengen $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ setze, und sonst $\nu(A):=\infty$. In der Tat ist $\nu$ dann ein Maß ($\sigma$-additiv, da abzählbare Vereinigungen höchstens abzählbarer Mengen wieder höchstens abzählbar ist). Nun müsste noch $\mu$, also das Zählmaß gemäß Deinem Vorschlag, geeignet angepasst werden. Und dabei sollte $\mu(A)=0$ für alle höchstens abzählbaren Mengen gelten, sowie $\mu([a,b])=\infty$ für alle $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-03

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, eine weitere Idee könnte natürlich sein, anstatt des Zählmaßes $\mathcal H^0$, das $s$-dimensionale Hausdorff-Maß $\mathcal H^s$ für $00$ gilt. Im Fall $a=b$ haben wir $$ \mathcal H^s([a,b])=\mathcal H^s(\lbrace a\rbrace)=0, $$ denn es ist $\mathcal H^0(\lbrace a\rbrace)=1<\infty$. Nehmen wir also $\mu=\mathcal H^s$ und $\nu(A)=0$ für alle höchstens abzählbaren Mengen und $\nu(A)=\infty$ sonst. Dann haben wir $\mu([a,b])=\nu([a,b])$ für alle $a\leq b$, wie gewünscht. Es ist aber $\mu\neq \nu$. Dazu könntest du eine "Cantor-artige" Menge mit Hausdorff-Dimension $s$ hernehmen. Deren $\mathcal H^s$-Maß ist $1$ (bzw. mit der Normalisierung evtl. eine andere Zahl. Auf jeden Fall endlich und verschieden von Null). Man könnte z.B. $s=\log_3(2)\approx 0.631$ und dann die "normale" Cantormenge nehmen. Ich hoffe, das hilft dir auch weiter. LG Nico\(\endgroup\)


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