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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorpolynom einer impliziten Funktion
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Universität/Hochschule J Taylorpolynom einer impliziten Funktion
elO
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  Themenstart: 2022-10-10

Hallo, ich versuche zu zeigen, dass es Umgebungen $U$ von $\pi$ und V von $1$ gibt und eine Funktion $h:U \rightarrow \mathbb{R}$ gibt, sodass alle $(x,y) \in U \times V$ die Gleichung $y \cos(x) + 1 = y^2 \sin(x)$ genau dann löse, wenn $y = h(x)$. Außerdem soll ich das zweite Taylorpolynom von $h$ im Punkt $\pi$ bestimmen. Wie der erste Teil geht weiß ich und das ging auch sehr einfach mit dem Satz über implizite Funktionen. Bei der Bestimmung des Taylorpolynomes sieht es leider nicht ganz so gut aus. Ich kann mir zwei ansätze Vorstellen, der erste wäre implizit die erste und zweite Ableitung von $h$ zu bestimmen. Das wäre mir eigentlich lieber, weil ich denke dass es einfacher ist. Aber wenn ich die Formel implizit ableite habe ich ja auch $h$ in der Ableitung und $h$ kenne ich ja leider nicht. Darum mein zweiter Ansatz. Ich bestimme zuerst das Taylorpolynom von $f(x,y) = y \cos(x) + 1 - y^2 \sin(x)$ und versuche dann $\alpha_1 (x - \pi) + \frac{1}{2} \alpha_2 (x - \pi)^2$ (die Form des zweiten TP von $h$) in einzusetzen und nach $\alpha_1$ und $\alpha_2$ aufzulösen. Das zweite Taylorpolynom von $f$ habe ich schon bestimmt als: $T_2 f(\pi,1) = (x - \pi) - (y-1) + \frac{1}{2} (x - \pi) + 2(x - \pi)(y - 1)$. Nun bin ich mir aber nicht ganz sicher wie ich weitermachen kann, wenn das überhaut der richtige Ansatz ist. Vielen Dank schonmal für eure Hilfe. Viele Grüße Ole


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-10

Hallo elO, wenn Du die Gleichung einmal implizit ableitest, hast Du darin auch $h'(x)$, das ist richtig. Wenn Du dann implizit ein zweites Mal ableitest, hast Du darin $h''(x)$ und $h'(x)$, das ist auch korrekt. Du hast aber doch nach der ersten Ableitung eine Gleichung, die Du nach $h'(x)$ auflösen kannst. Setze das dann in die zweite Ableitung ein, und dann bist Du dort $h'(x)$ los. Ciao, Thomas


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elO
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-10

Hallo Thomas, vielen Dank für deine Antwort. Wenn ich die Gleichung implizit ableite erhalte ich $ \cos(h(u)) - u h'(u) \sin(h(u)) - 2 u \sin(h(u)) - u^2 h'(u) cos(h(u)) = 0$. Aber in diesem Ausdruck ist ja immer noch $h(u)$ enthalten oder mache ich was falsch? Ich verstehe leider noch nicht, wie ich dann auf $h'(u)$ komme, ohne dass noch $h(u)$ in der Gleichung vorkommt. Viele Grüße Ole


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-10

Hallo Ole, das ist doch auch gar nicht der Sinn. Du kannst Dich rekursiv zu den immer höheren Ableitungen vortasten. Du weißt doch bereits, dass $h(\pi)=1$ ist. Nach der ersten impliziten Ableitung kannst Du $h'(\pi)$ berechnen, indem Du $x=\pi$ und $h(\pi)=1$ einsetzt. In der zweiten impliziten Ableitung kannst Du dann wieder $h(\pi)=1$ UND den gerade eben berechneten Wert für $h'(\pi)$ einsetzen, um $h''(\pi)$ zu erhalten, und so weiter. Die Ableitung ist bislang auch falsch. Wofür steht $u$? Es sollte für $x$ stehen, scheint aber für $y$ zu stehen. Du willst ja nicht $x(y)$ berechnen, sondern im Grunde $y(x)$. Ciao, Thomas


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elO
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-10

Hallo Thomas, meinst du mit den Formeln $h'(x) = \frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)} =: f_1, h''(x) = f_{1x}(x,y) + f_{1y}f_1 := f_2$ usw. die man mit der Kettenregel erhält? Viele Grüße Ole


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-10

Hallo Ole, Du machst es Dir zu kompliziert, oder Du weißt nicht genau, wo Du hinwillst. Du hast eine implizit definierte Funktion $f(x,y)=0$. In diesem Fall ist $f(x,y)=y\cos(x)-y^2\sin(x)+1$. Diese Gleichung könnte man nach $y$ auflösen und das ergibt dann im Idealfall eine Funktion $y(x)$. Das willst Du doch haben, nur dass Du es lokal an dem Punkt $(\pi,1)$ durch eine Taylorreihe darstellen willst, und wir jetzt mal so tun, als wenn die Gleichung oben nicht nach $y$ auflösbar wäre. Du hast dann eine Funktion $h(x)$, die lokal sich an $y$ anschmiegen soll. Leitest Du die allgemeine Gleichung $f(x,y)=0$ nach $x$ ab, dann hast Du $$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)+y'(x)\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=0$$. Leite also die Gleichung $f(x,y)=y\cos(x)-y^2\sin(x)+1$ dementsprechend ab, und Du bekommst $y'(\pi)$, wenn Du $x=\pi$ und $y=1$ einsetzt. (Setze für $y$ gerne $h$ ein, um deutlich zu machen, dass es um das Taylorpolynom geht.) Und dann das Ganze nochmal, um $y''(\pi)$ zu bekommen. Ciao, Thomas


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-20

Hallo Thomas, vielen Dank für deine Hilfe. Ich denke ich habe es jetzt verstanden. Es ist ja wirklich nicht so schwer. Viele Grüße Ole


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