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Universität/Hochschule J Lagrange-Multiplikatoren
CaptainNeemo
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  Themenstart: 2022-10-10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\d}{\Dot} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\dd}{\Ddot} \newcommand{\ra}{\Rightarrow} \newcommand{\la}{\Leftarrow} \renewcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\D}{\Delta}\) Hallo ich komme in einer Aufgabe nicht weiter. Es ging darum mithilfe des Lagrange Multiplikators, Extrema unter einer Nebenbedingung zu finden. In unserem Fall: \[ f(x,y): R^2\rightarrow R: (x,y)\rightarrow \frac{1}{2}(x^4+y^4-2x^2)\\ g(x,y): 2x^2+y^2 = z \] Dann wurde Lagrange aufgestellt und das GLeichungssystem ergibt sich wie folgt: 1.\(2x^3-2x+4x\lambda = 0\) 2. \(2y^3 +2y\lambda = 0\) 3. \(2x^2 + y^2 -z = 0\) Dann wurde 1.Gl -2*2.Gl gerechnet zu: 1. \(2x^3-4y^3+xy-2x = 0\) 3. \(2x^2 + y^2 -z = 0\) An dem sitze ich jetzt seit Stunden und habe bisher eine Extremstelle gefunden (nach y umgestellt und eingesetzt). \((z-2x^2)*(\frac{2x^3-2x}{(z-2x^2)}-4(z-2x^2)^2+x) = 0\) Mein EP war: \((\frac{z}{2},z-\frac{z^2}{4})\) Jetzt hänge ich aber an dem rechten Term. Habt ihr einen besseren Ansatz um die EPs auszurechnen bzw. könnt mir helfen? Gruß CaptainNeemo\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, eine Möglichkeit in diesem Fall wäre auch, dass du die Determinante der Matrix berechnest, in deren Spalten der Gradient von $f$ und der Gradient von $g$ (wobei $g(x,y)=2x^2+y^2-z$) stehen. Der Satz von Lagrange besagt ja gerade, dass die beiden linear abhängig sind, wenn $f$ an einem Punkt ein Extremum unter der NB $g=0$ hat. Nun sind diese beiden Vektoren aber genau dann linear abhängig, wenn die Determinante der beschriebenen Matrix verschwindet. Damit kommst du auf $$ \det\begin{pmatrix} 2x^3-2x & 4x \\ 2y^3&2y\end{pmatrix}=0 \iff 4xy(x^2-2y^2-1)=0. $$ Du hast nun also nur noch die beiden (einfacheren) Gleichungen I $4xy(x^2-2y^2-1)=0$ II $2x^2+y^2-z=0$ Nun kommst du mit Fallunterscheidungen zum Ziel, wobei es sich natürlich anbietet, mit Gleichung I zuerst zu arbeiten. Anmerkung: Ist über $z$ irgendwas bekannt, oder ist es einfach eine beliebige reelle Zahl? Je nachdem, müsstest du dann auch noch verschiedene Fälle für $z$ unterscheiden. In LaTeX bekommst du $\mathbb R$ übrigens mit \mathbb R und eine Abbildung könntest du schöner durch f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, \ (x,y)\mapsto f(x,y) darstellen. LG Nico \(\endgroup\)


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CaptainNeemo
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-11

Hallo, Nein über Z ist nichts bekannt. Danke für die Tipps ich versuche jetzt mal alles nachzuvollziehen. lg CaptainNeemo


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