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  Lagrange-Multiplikatoren |
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CaptainNeemo
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 26.08.2022
Mitteilungen: 23
 |  Themenstart: 2022-10-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\d}{\Dot}
\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\dd}{\Ddot}
\newcommand{\ra}{\Rightarrow}
\newcommand{\la}{\Leftarrow}
\renewcommand{\c}{\cdot}
\newcommand{\D}{\Delta}\)
Hallo ich komme in einer Aufgabe nicht weiter. Es ging darum mithilfe des Lagrange Multiplikators, Extrema unter einer Nebenbedingung zu finden. In unserem Fall:
\[
f(x,y): R^2\rightarrow R: (x,y)\rightarrow \frac{1}{2}(x^4+y^4-2x^2)\\
g(x,y): 2x^2+y^2 = z
\]
Dann wurde Lagrange aufgestellt und das GLeichungssystem ergibt sich wie folgt:
1.\(2x^3-2x+4x\lambda = 0\)
2. \(2y^3 +2y\lambda = 0\)
3. \(2x^2 + y^2 -z = 0\)
Dann wurde 1.Gl -2*2.Gl gerechnet zu:
1. \(2x^3-4y^3+xy-2x = 0\)
3. \(2x^2 + y^2 -z = 0\)
An dem sitze ich jetzt seit Stunden und habe bisher eine Extremstelle gefunden (nach y umgestellt und eingesetzt).
\((z-2x^2)*(\frac{2x^3-2x}{(z-2x^2)}-4(z-2x^2)^2+x) = 0\)
Mein EP war: \((\frac{z}{2},z-\frac{z^2}{4})\)
Jetzt hänge ich aber an dem rechten Term. Habt ihr einen besseren Ansatz um die EPs auszurechnen bzw. könnt mir helfen?
Gruß CaptainNeemo\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1961
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
eine Möglichkeit in diesem Fall wäre auch, dass du die Determinante der Matrix berechnest, in deren Spalten der Gradient von $f$ und der Gradient von $g$ (wobei $g(x,y)=2x^2+y^2-z$) stehen. Der Satz von Lagrange besagt ja gerade, dass die beiden linear abhängig sind, wenn $f$ an einem Punkt ein Extremum unter der NB $g=0$ hat. Nun sind diese beiden Vektoren aber genau dann linear abhängig, wenn die Determinante der beschriebenen Matrix verschwindet.
Damit kommst du auf
$$
\det\begin{pmatrix} 2x^3-2x & 4x \\ 2y^3&2y\end{pmatrix}=0 \iff 4xy(x^2-2y^2-1)=0.
$$
Du hast nun also nur noch die beiden (einfacheren) Gleichungen
I $4xy(x^2-2y^2-1)=0$
II $2x^2+y^2-z=0$
Nun kommst du mit Fallunterscheidungen zum Ziel, wobei es sich natürlich anbietet, mit Gleichung I zuerst zu arbeiten.
Anmerkung: Ist über $z$ irgendwas bekannt, oder ist es einfach eine beliebige reelle Zahl? Je nachdem, müsstest du dann auch noch verschiedene Fälle für $z$ unterscheiden. In LaTeX bekommst du $\mathbb R$ übrigens mit \mathbb R und eine Abbildung könntest du schöner durch f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, \ (x,y)\mapsto f(x,y) darstellen.
LG Nico
\(\endgroup\)
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CaptainNeemo
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Mitteilungen: 23
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-11
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Hallo,
Nein über Z ist nichts bekannt. Danke für die Tipps ich versuche jetzt mal alles nachzuvollziehen.
lg CaptainNeemo
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CaptainNeemo hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
CaptainNeemo hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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