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 Ableitung einer Funktion in Termen der Funktion schreiben |
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lilly2108
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Mitteilungen: 80
 |  Themenstart: 2022-10-12
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Angenomen $t\in\mathbb{R}$.
Die Ableitung der Summe $S=\sum_{i=1}^n e^{\alpha x}\cdot x^i$ nach der Variable $x$ ist $\sum_{i=1}^n \alpha e^{\alpha x}\cdot x^{i} + e^{\alpha x}\cdot i x^{i-1}$.
Ich würde gerne die Ableitung von $S$ umschreiben in ein Produkt von $S$ und einem Term $T$. Kriege es aber nicht hin. Hat jemand vllt. eine Idee?
Also
$\sum_{i=1}^n \alpha e^{\alpha x}\cdot x^{i} + e^{\alpha x}\cdot i x^{i-1}=(\sum_{i=1}^n e^{\alpha x}\cdot x^i) \cdot \alpha + (\sum_{i=1}^n e^{\alpha x}\cdot x^i) \cdot \frac{1}{x} \cdot (i?)$.
Wie verpackt man aber das $i$?🤔
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-12
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Hallo lilly2108,
bitte denke über Deinen Post noch einmal nach...
\quoteonAngenomen $t\in\mathbb{R}$.
\quoteoff
Gern, warum nicht.
\quoteonDie Ableitung der Summe $S=\sum_{i=1}^n e^{\alpha x}\cdot x^i$ nach der Variable $x$ ist $\sum_{i=1}^n \alpha e^{\alpha x}\cdot x^{i} + e^{\alpha x}\cdot i x^{i}$.
\quoteoff
Wenn Du alles nach dem zweiten Summenzeichen in eine Klammer packen würdest, ergibt es halbwegs Sinn. Allerdings ist die Ableitung von $x^i$ nicht $i\cdot x^i$, sondern...?
\quoteonIch würde gerne die Ableitung von $S$ umschreiben in ein Produkt von $S$ und einem Term $T$. Kriege es aber nicht hin. Hat jemand vllt. eine Idee?
\quoteoff
Was ist $T$? Das gleiche $t$ wie oben? Die Umgebungstemperatur?
\quoteon$\sum_{i=1}^n \alpha e^{\alpha x}\cdot x^{i} + e^{\alpha x}\cdot i x^{i}=(\sum_{i=1}^n e^{\alpha x}\cdot x^i) \cdot \alpha + (\sum_{i=1}^n e^{\alpha x}\cdot x^i) \cdot \frac{1}{t} \cdot (l?)$.
Wie verpackt man aber das $l$?🤔
\quoteoff
Tja, keine Ahnung, denn ich weiß nicht, was $l$ ist. Es taucht hier zum ersten Mal auf, genau wie das $t$, von der ersten Zeile abgesehen. Sorry, aber ich verstehe nicht die Bohne, was Du da vorhast.
Du kannst auch einfach das $e^{\alpha x}$ vor die Summe ziehen. Dann hast Du nach der Ableitung selbiges $e^{\alpha x}$ vor zwei Summen stehen, die Du in einer Summe unterbringen könntest. Ist es ungefähr das, was Dir vorschwebt?
Ciao,
Thomas
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lilly2108
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-12
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Tut mir Leid. Habe es zu schnell abgetippt und ein paar Fehler eingebaut. Jetzt ist es korrekt. 🙂
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lilly2108
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Dabei seit: 03.05.2021
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-12
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Ich würde aber gerne die Ableitung von $S$ irgendwie schreiben als $S$ multipliziert mit einem Term $T$.
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Mandelbluete
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Mitteilungen: 335
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon} \)
Aus $s(x) = e^{\alpha x}(x + x^2 + \cdots + x^n)$ bekommt man
\[
s'(x) = \alpha s(x) + e^{\alpha x}(1 + 2x + \cdots + nx^{n-1}).
\]
Wenn man die Nullstellen von $s$ ausschließt, könnte man $s(x)$ ausklammern, aber was willst Du dann weiter damit tun?\(\endgroup\)
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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3174
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-13
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hallo lilly2108,
was ich mit der Klammersetzung meinte, war, die Terme hinter dem zweiten Summenzeichen in eine Klammer zu packen, also so:
$$\sum_{i=1}^n \left(\alpha e^{\alpha x}\cdot x^{i} + e^{\alpha x}\cdot i x^{i-1}\right)$$Sonst würde der zweite Teil ja im luftleeren Raum herumhängen. Wie Mandelbluete schon gezeigt hat, kannst Du wegen der Produktregel einen Teil ausklammern, aber den Teil, der die eigentliche Ableitung der Summe enthält, nicht. Warum sollte das auch so sein? Wenn Du eine Funktion $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ hast und sie ableitest, dann hast Du $f'(x)=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)$. Du kannst hier $u(x)$ ja auch nicht sinnvoll ausklammern (das scheint mir das zu sein, was Du erreichen willst), außer dadurch, dass Du $\frac1{u(x)}$ in der Klammer hättest, und das hilft Dir nicht. Das, was Du vorhast, funktioniert nicht, Du kannst die $x^i$ in einer Summe nicht von ihren jeweiligen Koeffizienten "trennen" und ausklammern.
Ciao,
Thomas
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