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Universität/Hochschule J Differentialformen mit Werten in einer Lie-Algebra
nzimme10
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  Themenstart: 2022-10-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo miteinander, ich habe eine konzeptionelle Frage zu Lie-Algebra-wertigen Differentialformen. Sei dazu $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $\mathfrak g$ eine (reelle endlich-dimensionale) Lie-Algebra. Eine Lie-Algebra-wertige 1-Form ist dann zum Beispiel ein glatter Schnitt des Tensorproduktbündels $T^*M\otimes \mathfrak g$ und die Menge all dieser Schnitte wird mit $\Gamma(T^*M\otimes \mathfrak g)$ bezeichnet. Formal ist solch ein Schnitt also eine Abbildung $\sigma\colon M\to T^*M\otimes \mathfrak g$, d.h. für $p\in M$ ist $\sigma(p)\in T^*_pM\otimes \mathfrak g$. Das kann man auch als multilineare Abbildung $\sigma(p)\colon T_pM\times \mathfrak g^*\to \mathbb R$ auffassen, wenn man der Konstruktion des Tensorprodukts mit multilinearen Abbildungen folgt. Wo ist nun der Zusammenhang zu der Auffassung, dass es sich ja eigentlich um eine Abbildung $\sigma(p)\colon T_pM\to \mathfrak g$ handeln soll? Eine weitere Frage schließt sich hier direkt an. Es sei nun weiter $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $\mathfrak g$ und $\pi\colon P\to M$ ein $G$-Hauptfaserbündel mit Zusammenhangsform $\omega$ sowie $U\subseteq M$. Hat man einen glatten (lokalen) Schnitt $\sigma\colon U\to P$, dann hat man auf natürliche Weise solch eine Lie-Algebra-wertige Form gegeben durch $\omega^U:=\sigma^*\omega$. Hier habe ich nun auch die Behauptung $\omega^U\in \Omega^1(M)\otimes \mathfrak g$ gefunden. Für $p\in M$ kann das also wieder als multilineare Abbildung $\omega^U(p)\colon T_pM\times \mathfrak g^*\to \mathbb R$ aufgefasst werden und es leuchtet ein, dass $$ \Omega^1(M)\otimes \mathfrak g\cong \Gamma(T^*M)\otimes \mathfrak g\cong\Gamma(T^*M\otimes \mathfrak g) $$ gilt. Dennoch stellt sich mir auch hier die Frage, was das mit "Lie-Algebra-wertig" formal zu tun hat, also punktweise mit linearen Abbildungen $T_pM\to \mathfrak g$. Ich sehe da bei beiden Fragen nicht ganz den Zusammenhang zu dem, was man eigentlich ausdrücken will. Edit: Ich glaube es wird wohl einfach $\opn{Hom}(V,W)\cong V^*\otimes W$ verwendet bei der Namensgebung? Danke für jeden Hinweis :) LG Nico\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-20

Hi Nico, ich kenne mich mit deinem Thema nicht aus, aber ich denke du hast den Nagel bereits auf dem Kopf getroffen. Ein geeigneter Isomorphismus mit Tensorprodukten liefert wirklich wortwörtlich Lie-Algebra-wertige Abbildungen wie du zeigst.


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nzimme10
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-20

Hi Kezer, ja, ich denke auch. Das ist mir aber auch erst am Ende des Formulierens der Frage aufgefallen :D Danke auf jeden Fall, für deine Antwort. LG Nico


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PhysikRabe
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-20

Hi Nico, ich kenne mich ein bisschen mit dem Thema aus, und kann auch die Richtigkeit deiner Interpretation bestätigen. 😉 Im Grunde hat das aber gar nichts mit Lie-Algebren zu tun, sondern gilt auch allgemeiner für vektorwertige Schnitte. Man nutzt hier die Dualitätsstruktur aus, also genau den Isomorphismus $\mathrm{Hom}(V,W)\cong V^\ast \otimes W$, der sich auf Vektorbündel verallgemeinert: Die linearen Abbildungen $T_p M \to V$ bilden ein glattes Vektorbündel, welches isomorph (als Vektorbündel) zu $T^\ast M \otimes V$ ist (suggestiv geschrieben; hier bezeichnet $\otimes$ das Tensorprodukt von Vektorbündeln, und $V$ ist natürlich eigentlich das triviale Bündel $M\times V$ über $M$). Die glatten Schnitte dieses Bündels sind genau die $V$-wertigen Differentialformen, meistens $\Omega^1(M,V)$ genannt. Der Isomorphismus zu $\Omega^1(M)\otimes V$ ist damit klar. Analog gilt das auch für höhere äußere Potenzen. Grüße, PhysikRabe


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nzimme10
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hi PhysikRabe, danke für die Bestätigung. Deine Anmerkung erklärt auch die andere übliche Definition als glatter Schnitt des Bündels $(\mathfrak g\times M)\otimes \Lambda^k(T^*M)$. Damit sind meine Fragen geklärt. LG Nico\(\endgroup\)


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-20

Vielleicht ist dir das bereits klar, aber als ergänzender, abschließender Kommentar: \quoteon(2022-10-20 09:30 - nzimme10 in Beitrag No. 4) Deine Anmerkung erklärt auch die andere übliche Definition als glatter Schnitt des Bündels $(\mathfrak g\times M)\otimes \Lambda^k(T^*M)$. \quoteoff Hier muss man noch bedenken, dass implizit eine weitere Dualität ausgenutzt wird, und zwar $\bigwedge^k(T^\ast M)\cong \left(\bigwedge^k(TM)\right)^\ast$, die man mittels der nicht-entarteten Bilinearform $\bigwedge^k(T^\ast M) \times \bigwedge^k(TM) \to \mathbb{K}$ gegeben durch $(\omega_1 \wedge\ldots\wedge\omega_k , v_1 \wedge\ldots\wedge v_k) \mapsto \det((\omega_i (v_j))_{i,j=1,\ldots,k})$ erhält. Grüße, PhysikRabe


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