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Universität/Hochschule Finde x mit x ≡ 3 mod 5 und x³ ≡ 2 mod 5ⁿ
Derme
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.11.2022
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2022-11-10

Guten Tag, wir haben eine Aufgabe in unseremn Studium Erhalten, die wie folgt ist: Es soll gezeigt werden: für jede positive ganze Zahl n gibt es im Ring Z/5^n genau ein Element x, das x^3 = 2 erfüllt (in Z/5^n ) und außerdem x ≡ 3 in Z/5. (Beispiel: für n = 1 ist x = 3 ∈ Z/5 die Lösung; für n = 2 ist es x = 3 ∈ Z/25; und für n = 3 ist es x = 53 ∈ Z/125. Hinweis: schreibe x_n statt x, um die Abhängigkeit von n zu betonen. Wenn die Behauptung wahr ist, muss gelten x_n+1 ≡ x_n mod 5^n . Dann kann man versuchen, x_n+1 aus x_n zu bestimmen. Zuerst habe ich versucht eine Formel in Abhängigkeit von x_n zu finden. Für n=4 hatte ich die Idee x_n+1=x_n + 2*5^n zu nutzen. Ich kam auch auf ein richtiges Ergebniss, x_4=303. Leider konnte sich meine erste Behauptung für weitere Fälle nicht bestätigen. Des Weiteren habe ich mir die in der Aufgabenstellung beschriebene Behauptung von "x_n+1 ≡ x_n mod 5^n" angeschaut. Leider konnte ich dadurch keine weiteren Schlüsse für mich unbekannte Fälle wie z.B. n=5 schließen. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen. Liebe Grüße


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3675
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, probiere es mal mit dem Ansatz $x_{n+1} = x_n + 5^n y_n$, wobei $y_n$ noch zu bestimmen ist.\(\endgroup\)


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Derme
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.11.2022
Mitteilungen: 2
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10

Leider konnte mir der Ansatz nicht weiterhelfen. Nach diesem Schema hatte ich bereits die x_4 gefunden bzw. beschrieben. Leider entwickelt sich kein Schema für das yn. Für x_2 iste es 0, x_3 ist es 2, x_4 ebenfalls 2 und x_5 wieder 3.


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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11597
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-10

Schau doch mal, was rauskommst, wenn Du diesen Ausdruck hoch 3 nimmst Gruß Wauzi


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3516
Wohnort: der Nähe von Schwerin
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-11

Im Wesentlichen kommen als Kandidaten für $x_{n+1}$ auch nur $x_n$, $x_n\pm 5^n$ und $x_n\pm2\cdot 5^n$ in Frage.


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