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Atom-, Kern-, Quantenphysik » Quantenmechanik » Normierung ebener Wellen
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Universität/Hochschule J Normierung ebener Wellen
Skalhoef
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  Themenstart: 2022-11-29

Hej, ich hatte gehofft, dass mir jemand mal auf die Sprünge helfen könnte bei etwas was mich schon länger verwirrt. Bei der Streuung von Schrödinger-Teilchen an Potenzialen, da betrachtet man immer "einlaufende" bzw. "reflektierte" Wellen in der Gestalt von Exponentialfunktionen. Und man findet immer die gleiche Phrase To find the amplitudes for reflection and transmission for incidence from the left, we set in the above equations $A_{\rightarrow} = 1$ (incoming particle), $A_{\leftarrow} = \sqrt{R}$ (reflection), $B_{\leftarrow} = 0$ (no incoming particle from the right) and $B_{\rightarrow} = \sqrt{T k_1 / k_2}$ (transmission) etwa hier oder hier. Sind diese Wellenfunktionen überhaupt (über $\mathbb{R}$) normierbar? So, wie ich das wahrnehme, sind die das eigentlich nicht. Man hat z.B. für die Wellenfunktion $\psi_{L}$ im Intervall $(-\infty , 0)$ dann $$ | \psi_L |^2 = | \mathrm{e}^{\mathrm{i} kx} + r \mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx} |^2 = 1 + \left( r^* \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} kx} + r \mathrm{e}^{- 2\mathrm{i} kx} \right) + |r|^2 $$ was nicht normierbar ist. Oder vertue ich mich da irgendwo? Ich freue mich auf Rückmeldung! Vänliga hälsningar Sebastian


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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-30

Hej Sebastian! \quoteon(2022-11-29 14:56 - Skalhoef im Themenstart) $$ | \psi_L |^2 = | \mathrm{e}^{\mathrm{i} kx} + r \mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx} |^2 = 1 + \left( r^* \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} kx} + r \mathrm{e}^{- 2\mathrm{i} kx} \right) + |r|^2 $$ \quoteoff Die Betragsstriche bezeichnen den Betrag komplexer Zahlen, $|z|=\sqrt{\bar{z}z}$. Davon abgesehen: \quoteon(2022-11-29 14:56 - Skalhoef im Themenstart) Sind diese Wellenfunktionen überhaupt (über $\mathbb{R}$) normierbar? \quoteoff Nein, das sind sie natürlich nicht. Das ist aber ein allgemeiner Aspekt. Wir betrachten hier Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung. Diese können in ebene Wellen zerlegt werden. Genauer ausgedrückt handelt es sich bei Ebene-Wellen-Lösungen um nicht-normierbare (verallgemeinerte) Eigenzustände des Hamiltonians; das kann man mithilfe von "Gelfand-Tripeln" sauber formulieren. Jedenfalls beschreiben ebene Wellen keine physikalischen Teilchen. Sie sind nicht Elemente des Hilbertraums, man kann von ihnen keine Wahrscheinlichkeitsdichten ableiten, und sie verletzen die Unschärferelation weil sie scharfen Impuls/Wellenvektor $k$ besitzen. Im vorliegenden Fall der Potentialstufe ist es daher eigentlich falsch, im Zusammenhang von Ebene-Wellen-Lösungen von einem einlaufenden "Teilchen" zu sprechen, das mit dem Potential wechselwirkt. Das alles ist aber deswegen nicht so tragisch, und das Teilchenbild dennoch anwendbar, weil die physikalisch relevanten Lösungen Wellenpakete (zeitabhängige Lösungen) sind, die man durch Fourier-Integral-Superposition (quasi eine kontinuierliche Linearkombination) ebener Wellen erhalten kann. Jene sind normierbar, sie können also einzelne Teilchen repräsentieren, denen man eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit zuordnen kann. Das Nützliche an der Untersuchung der nicht-normierbaren (daher eigentlich unphysikalischen) ebenen Wellen ist, dass sie bereits die wesentlichen Informationen der physikalischen Wellenpaket-Lösungen beinhalten. Sie stellen also ein mathematisches Hilfsmittel dar. Viele Grüße, PhysikRabe


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Skalhoef
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Hallo PhysikRabe, ich danke dir für die Antwort. Du meinst also, dass man *eigentlich* an Wellenfunktionen der Gestalt $$ \psi( \mathbf{x} , t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }^d} \int \mathrm{d}^d k \, A ( \mathbf{k} ) \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega( \mathbf{k} ) t \right) } $$ untersuchen möchte (wie im Buch von Straumann, Quantenmechanik, in meiner Ausgabe: Kapitel 3.2 "Dispersionsgesetz für Materiewellen, kräftefreie Schrödingergleichung"), und das tut, indem man sich auf die einzelnen "Summanden" der Gestalt $$ \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega( \mathbf{k} ) t \right) } $$ untersucht? Wie ist sind denn dann deiner Meinung nach die Ergebnisse dieser Potenzial-Probleme zu verstehen? Ich glaube das ergibt so Sinn oder?! Aus der Kräftefreien Schrödinger-Gleichung erhält man dann $$ \omega(k) = \omega(-k) $$ und man kann den Zeitabhängigen Term aus der Betrachtung entfernen, wenn man einen einzelnen Summanden untersucht. Und die Überlegungen aus den Wikipedia-Artikeln bzw. die Standard-Rechnungen liefern dann einschränkende Bedingungen für die Amplituden, etwa $$ A( \mathbf{k}_{\star} ) = \text{const.} \implies A( - \mathbf{k}_{\star} ) = \text{const.} \cdot r $$ ich glaube so dürfte das sinnvoll sein, oder? Ich wäre tatsächlich bereit einen Haken an das Thema zu machen, zögere aber noch ein bisschen... Hälsningar Sebastian


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-30

\quoteon(2022-11-30 17:16 - Skalhoef in Beitrag No. 2) Du meinst also, dass man *eigentlich* an Wellenfunktionen der Gestalt $$ \psi( \mathbf{x} , t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }^d} \int \mathrm{d}^d k \, A ( \mathbf{k} ) \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega( \mathbf{k} ) t \right) } $$ untersuchen möchte [...] \quoteoff Ja, das ist ein Wellenpaket zur Zeit $t$. \quoteon(2022-11-30 17:16 - Skalhoef in Beitrag No. 2) [...] und das tut, indem man sich auf die einzelnen "Summanden" der Gestalt $$ \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega( \mathbf{k} ) t \right) } $$ untersucht? \quoteoff Es genügt, die ebene Welle $\psi_{(k)} (x)=e^{ikx}$ zu untersuchen. (Im Kontext der Potentialstufe wie im Themenstart wäre das stattdessen die Kombination $\psi_L$ für $x<0$, $\psi_C$ für $0a$, aber das Prinzip ist das selbe.) Man erhält auf diese Weise das Wellenpaket zur Zeit $t=0$, also $\psi(x,0)$ in deiner Notation. Der Faktor $e^{-i\omega(k) t}$ ist ein Resultat der Zeitentwicklung, nämlich $e^{-itH}\psi_{(k)} (x)=e^{-i\omega(k) t} \psi_{(k)} (x)$ (in Einheiten mit $\hbar=1$). Die "Amplitude" $A(k)$ modelliert das Profil deines Wellenpakets. Die prinzipielle Mechanik des Streuprozesses ist davon aber unabhängig. Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Ich danke dir vielmals PhysikRabe. Ich denke ich habe die wesentlichen Punkte jetzt verstanden. Ich mache einen Haken dran. Med vänliga hälsningar Sebastian


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Skalhoef hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Skalhoef hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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