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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » DGL y'' + 4y' = exp(x)
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Universität/Hochschule DGL y'' + 4y' = exp(x)
physics100
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  Themenstart: 2022-11-30

Hallo! Ich soll hier wieder die Lösung folgender Differentialgleichung bestimmen. Ich habe den Ansatz formuliert, aber komme nicht weiter. Stimmt der Rechenweg so überhaupt? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_B7072BFE-1982-4D9A-8B82-BE20F235D9B8.jpeg


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hier scheint mir der Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda=0\) falsch zu sein. Du hast zwar die Matrix korrekt umgeformt, aber den falschen Schluss daraus gezogen. \quoteon(2022-11-30 15:37 - physics100 im Themenstart) Ich habe den Ansatz formuliert, aber komme nicht weiter. \quoteoff Warum nicht? PS: auf dem MP gibt es ein eigenes Unterforum für Differentialgleichungen. Du könntest deine Fragen zu diesem Thema also besser dort starten. (Ich verschiebe deine Frage jetzt auch dorthin.) Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von Diophant]\(\endgroup\)


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physics100
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Achso, das wusste ich gar nicht, danke für's Verschieben. hmm, wie lautet dann der richtige Eigenvektor? Kann der EV nie 0 sein?


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thureduehrsen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-30

\quoteon(2022-11-30 16:10 - physics100 in Beitrag No. 2) Kann der EV nie 0 sein? \quoteoff In der Tat kann er das nicht. Der Nullvektor ist niemals ein Eigenvektor. mfg thureduehrsen


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-11-30 16:10 - physics100 in Beitrag No. 2) hmm, wie lautet dann der richtige Eigenvektor? Kann der EV nie 0 sein? \quoteoff Für den gesuchten Eigenvektor muss ja ganz offensichtlich \(y_2=0\) gelten. Der Nullvektor darf es (wie schon gesagt wurde) auch nicht sein: wie sieht er dann wohl aus? ... Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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physics100
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Dann hat man hier nur einen Eigenvektor, und zwar lambda= -4, oder? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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thureduehrsen
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-30

\quoteon(2022-11-30 16:31 - physics100 in Beitrag No. 5) Dann hat man hier nur einen Eigenvektor, und zwar lambda= -4, oder? \quoteoff Kann es sein, dass du Eigenwerte und Eigenvektoren verwechselst? Es gibt hier zwei Eigenwerte. mfg thureduehrsen


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physics100
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Ups,. natürlich eigenwert, sry. Dann habe ich ja nur -4 als Eigenwert


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-11-30 19:52 - physics100 in Beitrag No. 7) Ups,. natürlich eigenwert, sry. Dann habe ich ja nur -4 als Eigenwert \quoteoff Nein. Du hast die Eigenwerte \(0\) und \(-4\) korrekt berechnet. Und zu jedem dieser Eigenwerte gibt es (bis auf Vielfache) genau einen Eigenvektor. Es ist einfach nur so, dass dein Eigenvektor zum Eigenwert 0 falsch ist, man kann aber nicht nachvollziehen, wie du darauf gekommen bist und daher auch nicht mehr dazu sagen. Hast du meinen Hinweis aus Beitrag #4 nicht verstanden? Dann solltest du nochmal nachschlagen, was man unter einem Eigenvektor versteht. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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physics100
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Ich habe deinen Beitrag erst jetzt gelesen Diophant, davor konnte ich ihn irgendwie nicht sehen. Ich weiß schon was ein Eigenvektor ist, aber ich verstehe die Aufgabe immer noch nicht. Der Nullvektor lautet ja einfach (0 0).


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-11-30 21:11 - physics100 in Beitrag No. 9) Ich weiß schon was ein Eigenvektor ist, aber ich verstehe die Aufgabe immer noch nicht. Der Nullvektor lautet ja einfach (0 0). \quoteoff Hm, da bin ich mir nicht so sicher. Den Nullvektor kannst du hier weglassen, der ist per Definition keine Eigenvektor (er wäre als solcher auch völlig sinnfrei). Du hast also den Eigenwert 0 in die Matrix \(A-\lambda E\) eingesetzt und die Matrix \(\bpm 0&1\\0&-4 \epm\) erhalten. Diese hast du richtig umgeformt zu \(\bpm 0&1\\0&0 \epm\). Nur was du daraus jetzt machst, ist und bleibt mir schleierhaft. Die letzte Matrix bedeutet doch nichts anderes, als das der Eigenvektor ein Lösungsvektor des Gleichungssystems (mit den zwei Unbekannten \(y_1,y_2\)) \[\ba 0&=0\\ y_2&=0 \ea\] sein muss. Und zwar einer, der nicht der Nullvektor ist. Und das erfüllt dein berechneter Vektor offensichtlich nicht. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Hans-Juergen
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-12-01

Gesucht: Lösung von y'' + 4 y' = e^x. Unabhängig von den vorstehenden komplizierten Überlegungen nehme ich an, y enthalte den Faktor e^x; dann ist der einfachste Lösungsansatz y = a e^x , a = const . Aus ihm folgt: y' = y'' = a e^x, a + 4 a = 1, a = 1/5 , (y = 1/5 e^x)__ .


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-12-01

@Hans-Juergen: \quoteon(2022-12-01 14:48 - Hans-Juergen in Beitrag No. 11) Gesucht: Lösung von y'' + 4 y' = e^x. Unabhängig von den vorstehenden komplizierten Überlegungen nehme ich an, y enthalte den Faktor e^x; dann ist der einfachste Lösungsansatz y = a e^x , a = const . \quoteoff Das halte ich für keinen guten Tipp, denn es könnte so verstanden werden, dass dieser Ansatz unabhängig von den Nullstellen des charakteristischen Polynoms immer funktioniert. Und das tut er bekanntlich nicht. \quoteon(2022-12-01 14:48 - Hans-Juergen in Beitrag No. 11) Aus ihm folgt: y' = y'' = a e^x, a + 4 a = 1, a = 1/5 , (y = 1/5 e^x)__ . \quoteoff Ja, schon. Das bringt aber an der Stelle nicht wirklich etwas, da die allgemeine Lösung der DGL gesucht ist und bisher die Lösung des zugehörigen homogenen Problems falsch ist (bzw. noch nicht einmal richtig dasteht). @physics100: obiges ist eine partikuläre Lösung der DGL. Gruß, Diophant


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Hans-Juergen
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-12-01

Ich habe nicht behauptet, dass die von mir angegebene Lösung die allgemeine ist. Diese lautet (über die allgemeine Lösung der homogenen Dgl. und mit zwei Konstanten A und B): y = A e^(-4x) + (e^x)/5 + B . Probe: y' = - 4 A e^(-4x) + (e^x)/5 y'' = 16 A e^(-4x) + (e^x)/5 y'' + 4 y' = 16 A e^(-4x) + (e^x)/5 - 16 A e^(-4x) + 4/5 e^x = e^x, wie es sein soll.


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physics100
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-01

Erstmal danke für alle Antworten und Erklärungen! Diophant, was kann ich daraus schließen? Wie muss ich da genau vorgehen? Tut mir leid, dass ich erneut nachfrage, aber das will mir noch nicht einleuchten.


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Diophant
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, setze dich mit dem Thema Eigenwerte/Eigenvektoren nochmal gründlich auseinander (schaue dir vielleicht gleich einmal zur Sicherheit die Definitionen auf Wikipedia an). Der Eigenvektor zum EW 0 muss das LGS \[\bpm 0&1\\0&0 \epm\cdot\bpm y_1\\y_2 \epm=0\] lösen. Das tut offensichtlich jeder Vektor \((y_1,y_2)^T\), für den \(y_2=0\) ist. Also ist jeder Vektor der Form \[t\cdot\bpm 1\\0 \epm\quad,\quad t\neq 0\] Eigenvektor zum Eigenwert 0 und du verwendest zweckmäßigerweise den Vektor \((1,0)^T\). (Nach wie vor hast du leider nicht erläutert, wie du zu deinem falschen Eigenvektor gekommen bist, so dass ich dir da auch nicht in Sachen Fehlersuche weiterhelfen kann.) Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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physics100
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-02

Achsoo, ich glaube jetzt hat's klick gemacht. Mein Eigenvektor ist (1 0), oder? Ich habe da einfach eine -1 hingeschrieben, aber das darf ich eben hier nicht machen, daher EV= (1 0).


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Diophant
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-12-02 00:23 - physics100 in Beitrag No. 16) Achsoo, ich glaube jetzt hat's klick gemacht. Mein Eigenvektor ist (1 0), oder? \quoteoff Ja. \quoteon(2022-12-02 00:23 - physics100 in Beitrag No. 16) Ich habe da einfach eine -1 hingeschrieben, aber das darf ich eben hier nicht machen, daher EV= (1 0). \quoteoff Ich würde sagen: das darfst nicht nur hier nicht machen, sondern das darf man generell nicht machen. Ich kann jedoch nach wie vor nicht nachvollziehen, wie du überhaupt auf die Idee dazu gekommen bist. Mache dir klar: auch wenn man die Matrix nicht auf Zeilenstufenform bringt, sondern so rechnet: \[\bpm 0&1\\0&-4 \epm\cdot\bpm y_1\\y_2 \epm=0\] Auch dann kommt man natürlich auf den Eigenvektor \((1,0)^T\). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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