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  Der Einsteintensor |
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Cyborg
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 |  Themenstart: 2022-12-05
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Hallo, Leute!
Ich gucke bei youtube eine Vorlesung "Vektor- und Tensorrechnung II".
Folgendes Bild:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_6_Frage.jpg
Ich verstehe nicht so ganz, wie man von $R^i_j-\dfrac{1}{2}\cdot\delta^i_{j}\cdot R$ nach $R_{ij}-\dfrac{1}{2}\cdot g_{ij}\cdot R$
kommt!! Kann man mir das mal genauer ausführen?? Wie ist der Zusammenhang zwischen $g_{ij}$ und $\delta^i_{j}$ ???
1. Ich weiß, dass $g_{ij}$ kovariant abgeleitet nach $i$ Null ist.
2. Bei $R^i_j$ wird das $i$ heruntergezogen mithilfe des Metriktensors.
Ich danke euch.
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Finn0
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-05
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1. Die Verbindung der Gleichungen $v_i = g_{ij}v^j$ und $v^j = g^{jk}v_k$ resultiert in
$v_i = g_{ij} g^{jk}v_k = \delta_i^k v_k.$
Ergo muss $g_{ij}g^{jk} = \delta_i^k$ sein.
2. Bei der Summierung eines Terms mit Faktor $\delta_j^k$ über den Index $k$ verschwinden alle Summanden mit $j\ne k$, und der Summand mit $j=k$ bleibt unberührt.
Ergo muss $g_{ik}\delta_j^k = g_{ij}$ sein.
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Cyborg
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-05
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Ich danke für deinen Hinweis, Finn0:
Ich habe jetzt folgendes:
$$(R^i_j-\dfrac{1}{2}\cdot\delta^i_{j}\cdot R)_{|i}=0$$
Also:
$$(R_{ij}\cdot g^{ij}-\dfrac{1}{2}\cdot(g_{ij}\cdot g^{ij})\cdot R)_{|i}=0$$
also:
$$[g^{ij}\cdot (R_{ij}-\dfrac{1}{2}\cdot g_{ij}\cdot R)]_{|i}=0$$
also:
$$g^{ij}\cdot (R_{ij}-\dfrac{1}{2}\cdot g_{ij}\cdot R)_{|i}+0=0$$
also:
$$(R_{ij}-\dfrac{1}{2}\cdot g_{ij}\cdot R)_{|i}=0$$
Alles OK??
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Finn0
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-05
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Bei $R_j^i$ ist die Reihenfolge der Indizes nicht ersichtlich. Die kannst du in TeX mit R^i{}_j notieren. Der Term $R_{ij}g^{ij}$ würde die Summierung über beide Indizes bedeuten. Stattdessen ist der Index, über den summiert wird, als dritter einzuführen. Es muss also $R^i{}_j = R_{kj}g^{ik}$ lauten. Hiermit findet sich die Umformung
$R^i{}_j - \frac{1}{2}\delta^i{}_j R = R_{kj}g^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}g_{kj}R = (R_{kj}-\frac{1}{2}g_{kj}R)g^{ik}.$
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Finn0
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-05
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Cyborg
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06
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Hallo, Finn0!
Ich danke dir für deine Hilfe!!!
Ja, ich hatte versucht den dritten Index zu umgehen. Ich habe in der Vorlesung fast alles verstanden, nur an dieser Stelle hat der Professor einen SPRUNG gemacht!
Ich schreibe mal auf:
$
\begin{align*}
0&=2R^i{}_{j|i}-\delta^i{}_j R_{|i} \\
0&=R^i{}_{j|i}-\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R_{|i} \\
0&=R_{kj}g^{ik}|_i-\dfrac{1}{2}g^{ik}g_{kj}R_{|i} \\
0&=g^{ik} R_{kj|i}-\dfrac{1}{2}g^{ik}g_{kj}R_{|i} \\
0&=R_{kj|i}-\dfrac{1}{2}g_{kj}R_{|i} \\
0&=R_{kj|i}-(\dfrac{1}{2}g_{kj}R)|_i \\
0&=(R_{kj}-\dfrac{1}{2}g_{kj}R)|_i \\
0&=(R_{ij}-\dfrac{1}{2}g_{ij}R)|_i \\
\end{align*}
$
Ist jetzt alles in Ordnung, Finn0???
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Finn0
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-06
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Die Annahme, da wäre ein Sprung, ist bereits ein Denkfehler. Eigentlich steht da
$(\underbrace{R^i{}_j - \frac{1}{2}\delta^i{}_jR}_{G^i{}_j})_{\,;i} = 0.$
Du liest da $G_{ij\,;i}=0$ heraus, wovon aber nicht die Rede ist. Ob diese Gleichung stimmt, stünde zur Debatte. Vermutlich nein, weil über $i$ summiert wird, und $i$ dafür im Formalismus einmal oben und einmal unten stehen sollte. Ich würde zur Übung zunächst einmal die Umformung zu $G^{ij}{}_{\,;i}=0$ erarbeiten, die muss tatsächlich durchführbar sein.
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Cyborg
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06
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Ich habe mich geirrt:
Wenn definiert ist: $G_{ij}=R_{ij}-\dfrac{1}{2}g_{ij}R$, dann gilt $G_{ij}=G_{ji}$ wie beim Energie-Impulstensor. Nach Vorlesung muss dann auch gelten $G^i{}_{j|i}=0$ (Energieerhaltung).
Ich habe gedacht, dass man $G_{ij|i}$ ausrechnen will.
Ich glaube man muss da benutzen: $g^i{}_{j}=\delta^i{}_{j}$
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Cyborg
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06
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Bevor ich was neues schreibe, gilt $\delta^i{}_{j|i}=0$???
Wenn ja:
$\begin{align*}
0&=2R^i{}_{j|i}-\delta^i{}_j R_{|i} \\
0&=R^i{}_{j|i}-\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R_{|i} \\
0&=R^i{}_{j|i}-(\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R)_{|i} \\
0&=(R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R)|_i \\
0&=(R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}g^i{}_j R)|_i \\
\end{align*}$
Wenn $G_{ij}:=R_{ij}-\dfrac{1}{2}g_{ij} R$, dann gilt:
$G^i{}_{j}=R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}g^i{}_j R$
Es gilt also $G^i{}_{j|i}=0$.
Jetzt müsste eigentlich alles OK sein???
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Finn0
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-06
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Für die kovariante Ableitung eines (1,1)-Tensorfelds $A^i{}_j$ gilt allgemein
$A^i{}_{j\,;\alpha} = \partial_\alpha A^i{}_j + \Gamma^i{}_{\alpha \beta}A^\beta{}_j - \Gamma^\beta{}_{\alpha j}A^i{}_\beta.$
Hiermit findet sich
$\begin{split}\delta^i{}_{j\,;i} &= \partial_i \delta^i{}_j + \Gamma^i{}_{i \beta}\delta^\beta{}_j - \Gamma^\beta{}_{i j}\delta^i{}_\beta\\ &= \partial_j \delta^j{}_j + \Gamma^i{}_{ij}\delta^j{}_j - \Gamma^i{}_{i j}\delta^i{}_i\\ &= 0 + \Gamma^i{}_{ij} - \Gamma^i{}_{i j} = 0.\end{split}$
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Cyborg
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-07
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\quoteon(2022-12-06 17:35 - Cyborg in Beitrag No. 8)
$\begin{align*}
0&=2R^i{}_{j|i}-\delta^i{}_j R_{|i} \\
0&=R^i{}_{j|i}-\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R_{|i} \\
0&=R^i{}_{j|i}-(\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R)_{|i} \\
0&=(R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R)|_i \\
0&=(R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}g^i{}_j R)|_i \\
\end{align*}$
Wenn $G_{ij}:=R_{ij}-\dfrac{1}{2}g_{ij} R$, dann gilt:
$G^i{}_{j}=R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}g^i{}_j R$
Es gilt also $G^i{}_{j|i}=0$.
\quoteoff
Beweis von $G^i{}_{j}=R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}g^i{}_j R=R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R$:
$\begin{align*}
&G_{ij}=R_{ij}-\dfrac{1}{2}g_{ij}R \\
&G_{kj}=R_{kj}-\dfrac{1}{2}g_{kj}R \\
&g^{ik}G_{kj}=g^{ik}R_{kj}-\dfrac{1}{2}g^{ik}g_{kj}R \\
&G^i{}_{j}=R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}\delta^i{}_j R=R^i{}_{j}-\dfrac{1}{2}g^i{}_j R
\end{align*}$
\red\ Hallo, Finn0! Ist da jetzt alles OK??
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Finn0
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-12-08
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