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| Autor |
 Grenzwert einer Funktion zweier Veränderlicher |
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CauchyProdukt
Aktiv 
Dabei seit: 20.11.2022
Mitteilungen: 35
 |  Themenstart: 2022-12-05
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\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset
\let\emptyset\varnothing\)
Hallo,
kann mir jemand bei folgenden Grenzwerten helfen
\[ \lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^4y + 4x^2 y^3 - y^5}{(x^2 + y^2)^2} = 0\]
bzw.
\[ \lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3 y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} = 0?\]
Beim zweiten Grenzwert gilt ja zum Beispiel für $x = y$
\[ \lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3 y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^5 - 4x^5 - x^5}{(2x^2)^2} = \lim_{x \to 0} -x = 0\]
Oder für $y = 0$
\[ \lim_{(x, 0) \to (0, 0)} \frac{x^5 - 0 - 0}{(x^2 + 0)^2} = \lim_{(x, 0) \to (0,0)} x = 0 \]
bzw. für $x = 0$
\[ \lim_{(0, y) \to (0, 0)} \frac{0}{(0 + y^2)^2} = 0. \]
Aber wie kann ich das nun allgemein zeigen? Vielen Dank im voraus\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2515
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-05
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Huhu CauchyProdukt,
spricht etwas gegen Polarkoordinaten?
Gruß,
Küstenkind
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11609
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-05
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Hallo,
alternativ:
- im Zähler geeignet ausklammern
- Zähler=Quadrat+Rest
- Kürzen -> 1+Rest/Nenner
- Zweiten Summand nach oben abschätzen
Der zweite Grenzwert ist nur eine andere Schreibweise des ersten
Gruß Wauzi
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CauchyProdukt
Aktiv 
Dabei seit: 20.11.2022
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06
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\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset
\let\emptyset\varnothing\)
Danke für die Antworten
Also wäre das hier
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2}
= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2}
\leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 + 2x^2y^2 + y^4)}{(x^2 + y^2)^2}
= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^2 + y^2)^2}{(x^2 + y^2)^2}
= \lim_{(x,y) \to (0, 0)} x = 0 \]
zum Beispiel okay?\(\endgroup\)
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11609
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-06
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Nicht ganz.
Statt der 2 muß nach dem "<" eine 4 stehen und Betragsstriche sollten auch verwendet werden
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CauchyProdukt
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2022
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06
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\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset
\let\emptyset\varnothing\)
Achso okay
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2}
= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2}
\leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|x| (x^4 + 4x^2y^2 + y^4)}{(x^2 + y^2)^2} \]
Aber wie lässt sich denn hier wieder die binomische Formel anwenden?\(\endgroup\)
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3532
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-06
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Hi:)
\quoteon(2022-12-06 08:57 - CauchyProdukt in Beitrag No. 5)
Achso okay
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2}
= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2}
\leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|x| (x^4 + 4x^2y^2 + y^4)}{(x^2 + y^2)^2} \]
Aber wie lässt sich denn hier wieder die binomische Formel anwenden?
\quoteoff
Zunächst einmal würde ich den Limes weglassen, denn du weißt ja gar nicht, ob er existiert. Wenn du $|x|$ ausgeklammert hast, muss der Rest nur gegen eine Konstante abgeschätzt werden.
Es gilt
\[
\left|\frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2} \right|
=|x|\cdot \left|\frac{x^4 - 4x^2y^2 - y^4}{(x^2 + y^2)^2}\right|\leq |x|\cdot \frac{x^4 + 4x^2y^2 + y^4}{(x^2 + y^2)^2} = |x|\cdot \left(1+\frac{2x^2y^2}{(x^2 + y^2)^2} \right)\leq 2|x|
\]
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