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Universität/Hochschule J Globale Extrema von mehrdimensionalen Funktionen
nDawn
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  Themenstart: 2022-12-06

Hallo Forum, leider hänge ich einmal wieder bei meinen Mathe Übungen... Ich zerbreche mir gerade den Kopf über folgende Aufgabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_6_Screenshot_1.jpg Für meinen Lösungsweg habe ich zunächst die partiellen Ableitungen (Gradient) der Funktionen gebildet um den Punkt der eventuelle Extrema zu finden. Dabei würde ich auch schon auf das erste Probleme stoßen und zwar dass mein x und y beide 0 sind und sich das mit der Voraussetzung in der Angabe widerspricht. (x^2 + y^2 < 9) Ich habe dann trotzdem weitergemacht und die Hesse-Matrix geformt um herauszufinden um welche Art des Extrema es sich handelt. Nun kommt hier mein nächstes Problem, nach einsetzen der Variablen und zwar dass ich auf einmal im komplexen unterwegs bin... Ich denke mein Fehler ist bei den partiellen Ableitungen passiert, ich würde den aber nicht finden. Zudem habe ich mir die Funktion auch schon graphisch angeschaut wo auch zu sehen ist, dass x oder y min. 3 sein müssten. Bitte um Hilfe, Rechenweg ist hier: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_IMG_0414.jpg


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-06

Hallo, hm. Macht es Sinn, an Stellen nach Extrema zu suchen, wo die Funktion überhaupt nicht definiert ist? ... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]


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nDawn
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06

\quoteon(2022-12-06 12:21 - Diophant in Beitrag No. 1) Macht es Sinn, an Stellen nach Extrema zu suchen, wo die Funktion überhaupt nicht definiert ist? ... \quoteoff Nein, natürlich nicht! Das heißt ich schau mir hier die Stellen x=4, y=0 und y=4, x=0 an, da diese die ersten möglichen Stellen sind in denen die Funktion überhaupt existiert? Denn man sucht nach Extrema ja normalerweise indem man die erste Ableitung gleich 0 setzt. Da somit die Steigung an dem Punkt gleich 0 ist, sprich entweder ein Wendepunkt oder Sattelpunkt ist.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-12-06 13:27 - nDawn in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-12-06 12:21 - Diophant in Beitrag No. 1) Macht es Sinn, an Stellen nach Extrema zu suchen, wo die Funktion überhaupt nicht definiert ist? ... \quoteoff Nein, natürlich nicht! Das heißt ich schau mir hier die Stellen x=4, y=0 und y=4, x=0 an, da diese die ersten möglichen Stellen sind in denen die Funktion überhaupt existiert?... \quoteoff Das verstehe ich nicht. "Stellen" sind bei dieser Funktion im übrigen Paare der Form \((x,y)\), also Punkte in der xy-Ebene. Damit du ein wenig eine Vorstellung bekommst: der Graph dieser Funktion ist eine (gekrümmte) Fläche im dreidimensionalen Raum, also im \(\IR^3\). Die Funktion ordnet dabei jedem Paar \((x,y)\) eine \(z\)-Koordinate zu, und zwar durch die Funktionsvorschrift \[z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-9}\] Und jetzt kommt die Sache mit dem Definitionsbereich. Laut Aufgabenstellung ist deine Funktion auf der offenen Kreisscheibe um \((0,0)\) mit dem Radius \(r=3\) nicht definiert. Auf dem Rand dieses Kreises jedoch schon. Du musst also diesen Rand einmal gesondert betrachten und dir überlegen, was die Funktion außerhalb dieses Randes so macht. Lokale Extrema kann sie ja dort nicht haben, das zeigt dir deine Rechnung aus dem Themenstart. Wenn man einmal die Definition dieser Funktion verstanden hat, dann kann man diese Teilaufgabe eigentlich im Kopf lösen und es geht nur noch darum, wie man seine Erkenntnisse am besten zu Papier bringt... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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nDawn
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06

Okay, das bedeutet ich schau mir alle (x,y) an die die Voraussetzung erfüllen?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-06

\quoteon(2022-12-06 16:46 - nDawn in Beitrag No. 4) Okay, das bedeutet ich schau mir alle (x,y) an die die Voraussetzung erfüllen? \quoteoff Wie meinst du das? Denke doch einfach über den Funktionsterm und die Definitionsmenge einmal etwas gründlicher nach. Der Term unter der Wurzel sollte einen an eine schillernde Persönlichkeit aus der Zeit der griechischen Antike erinnern... Gruß, Diophant


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nDawn
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-09

Ja soweit verstehe ich das jetzt eh schon, dass die Funktion innerhalb des Kreisringes mir r=3 nicht definiert ist und dort somit auch keine Extrema herrschen können. Auf dem Kreisring selbst ist das globale Minima und die Funktion ist nach unten beschränkt durch eben diesen Kreisring, nicht? Ich verstehe nur nicht wie ich diese Überlegung zu Papier bringe... Und griechische Mathematiker fallen mir nur Pythagoras, Archimedes und Thales ein. :)


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-09

Hallo, \quoteon(2022-12-09 18:23 - nDawn in Beitrag No. 6) Auf dem Kreisring selbst ist das globale Minima... \quoteoff Ja. Aber es heißt "das Minimum, die Minima". \quoteon(2022-12-09 18:23 - nDawn in Beitrag No. 6) und die Funktion ist nach unten beschränkt durch eben diesen Kreisring, nicht? \quoteoff Eine Funktion ist sicher nicht durch ein geometrisches Objekt nach unten beschränkt, sondern durch eine reelle Zahl... \quoteon(2022-12-09 18:23 - nDawn in Beitrag No. 6) Ich verstehe nur nicht wie ich diese Überlegung zu Papier bringe... \quoteoff Mittels folgendem Handwerkszeug: - einer Ungleichung - Polarkoordinaten (optional, aber hier sehr praktisch) - einer Grenzwertbetrachtung. Was ich in diesem Zusammenhang manchmal (hier auch) nicht so ganz verstehe: wenn man solche Aufgaben bearbeitet, dann hat man das Handwerkszeug für die Formulierung seiner Überlegungen und Resultate normalerweise längst parat. Ansonsten ist in Sachen Lernstrategie eventuell an der einen oder anderen Stelle etwas falsch gelaufen. Jedenfalls wäre es dann an der Zeit, sich an dieser Stelle einmal zu hinterfragen... Gruß, Diophant


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