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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » DMS - Kanalkapazität bei gleichem N0 und gleichem B bestimmen
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Universität/Hochschule J DMS - Kanalkapazität bei gleichem N0 und gleichem B bestimmen
Sinnfrei
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Eine DMS liefert mit der Symbolrate $1/T$ die vier Zeichen $\{1;2;3;4\}$ mit den folgenden Auftrittswahrscheinlichkeiten: $P(1) = 0.500 \qquad P(2) = 0.250 \qquad P(3) = 0.125 \qquad P(4) = 0.125$ Für die Übertragung steht ein AWGN-Kanal mit der Bandbreite B zur Verfügung. Bei einer Signalleistung $S = 0~\mathrm{dBm}$ wird ein Störabstand $SNR = 30~\mathrm{dB}$ gemessen. Die Rauschleistungsdichte beträgt $N_0 = 10^{-10}~\mathrm{Ws}$. 1. Bestimmen Sie die Entropie der Quelle! 2. Welche Bandbreite B hat der betrachtete Kanal? 3. Welche Kanalkapazität ergibt sich? 4. Wie groß darf die Symbolrate $1/T$ maximal werden, damit eine fehlerfreie Übertragung bei diesem Kanal noch prinzipiell möglich ist? 5. Welche Kanalkapazität ergibt sich, wenn nun bei gleicher Rauschleistungsdichte und gleicher Bandbreite die Sendeleistung $S = 30~\mathrm{dBm}$ erhöht wird? Zu: 1. $$H = -\sum_{i}P(x_i)\cdot \operatorname{ld}(P(x_i))$$ $$H = -(0.5\cdot\operatorname{ld}(0.5) + 0.25\cdot\operatorname{ld}(0.25) + 2\cdot(0.125\cdot\operatorname{ld}(0.125)))$$ $$H = {1\over 2}\cdot 1 + {1\over 4}\cdot 2 + 2\cdot {1\over 8}\cdot 3 = 1.75~\mathrm{Bit\over Zeichen}$$ 2. $$S = 0~\mathrm{dBm} \Rightarrow S = 1~\mathrm{mW}$$ $${S\over N} = {S\over B \cdot N_0} = SNR$$ $$\Rightarrow B = {S\over SNR\cdot N_0} = {1~\mathrm{mW}\over 10^3\cdot 10^{-10}~\mathrm{Ws}} = 10~\mathrm{kHz}$$ 3. $$C = B\cdot \operatorname{ld}(1 + SNR) = 10~\mathrm{kHz}\cdot\operatorname{ld}(1 + \color{red}{1000})$$ $$C = \color{red}{99.67\cdot 10^3}~\mathrm{Bit\over s}$$ 4. 1 Symbol entspricht 1.75 Bit! $$\Rightarrow {1\over T} = {C\over H} = {99.67\cdot 10^3~\mathrm{Bit}\over \mathrm{s}\cdot 1,75 ~\mathrm{Bit}}$$ $${1\over T} = {56.95\cdot 10^3\over \mathrm{s}}$$ 5. $$C = B\cdot\operatorname{ld}(1+SNR)$$ $$S_{alt} = 1~\mathrm{mW} \qquad S_{neu} = 1~\mathrm{W}\quad (30~\mathrm{dBm})\quad (1)$$ $$\Rightarrow C_{neu} = B\cdot \operatorname{ld}(1 + SNR_{alt}\cdot 1000)\quad (2)$$ $$C_{neu}= \color{red}{C_{alt} \cdot 9,97} = 99,67\cdot 10^3\cdot 9,97\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}\quad (3)$$ $$= 993\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}\quad (4)$$ Meine Fragen beziehen sich auf das in rot markierte - Bei Punkt 3 in Verbindung mit Punkt 5. Wenn (2) aus Unterpunkt 5 dasselbe wie das in rot markierte in der nachfolgenden Zeile sein soll, dann komme ich auf: $$B\cdot \operatorname{ld}(1 + SNR_{alt}\cdot 1000) = 10^3~\mathrm{kHz}\cdot\operatorname{ld}(1 + 10^3\cdot 10^3) \approx 199.52\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}$$ Und nicht auf $993\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}$ Oder wurde hier ein Fehler bei (2) gemacht? Vielen Dank schon mal im voraus.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-22

Hallo Sinnfrei, Deine Antworten auf die Fragen 1 und 2 sind richtig. Bei 3 stimmt der Zahlenwert, aber die Einheit der Kanalkapazität ist bit/s. Bei 4 hätte ich $2B$ für die maximale Symbolrate ohne Intersymbolinterferenz geantwortet. Bei 5 ist nicht klar, wie der Faktor $C_\mathrm{neu} / C_\mathrm{alt} = 9.97$ zustande kommt, der Wert $C_\mathrm{neu} \approx 199.52\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}$ ist richtig. Servus, Roland


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-23

\quoteon(2022-12-22 19:23 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, Deine Antworten auf die Fragen 1 und 2 sind richtig. Bei 3 stimmt der Zahlenwert, aber die Einheit der Kanalkapazität ist bit/s. Bei 4 hätte ich $2B$ für die maximale Symbolrate ohne Intersymbolinterferenz geantwortet. Bei 5 ist nicht klar, wie der Faktor $C_\mathrm{neu} / C_\mathrm{alt} = 9.97$ zustande kommt, der Wert $C_\mathrm{neu} \approx 199.52\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}$ ist richtig. Servus, Roland \quoteoff Unser Prof. meinte, dass er bei Unterpunkt 5 mit $C_{alt}$ zeigen wollte, dass die Änderung der Kanalkapazität nicht von der Bandbreite sondern von der Sendeleistung abhängt, da die Bandbreite aus Aufgabe 5 ja gleich bleibt. Das fällt mir jedoch schwer nachzuvollziehen, wenn man eine Zeile darüber aber die Gleichung für das neue $C$ aufschreibt, das jedoch ein anderes Ergebnis liefert.


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-25

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-12-23 02:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Unser Prof. meinte, dass er bei Unterpunkt 5 mit $C_{alt}$ zeigen wollte, dass die Änderung der Kanalkapazität nicht von der Bandbreite sondern von der Sendeleistung abhängt, da die Bandbreite aus Aufgabe 5 ja gleich bleibt. Das fällt mir jedoch schwer nachzuvollziehen, wenn man eine Zeile darüber aber die Gleichung für das neue $C$ aufschreibt, das jedoch ein anderes Ergebnis liefert. \quoteoff es kommt darauf an, was mit der Änderung der Kanalkapazität gemeint ist, aber ich finde, dass Zahlenbeispiele dazu nicht besonders geeignet sind. Das Verhältnis $$\frac{C_\mathrm{neu}}{C_\mathrm{alt}} = \frac{B \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{neu}/N)}}{B \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{alt}/N)}} = \frac{\operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{neu}/N)}}{\operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{alt}/N)}} \approx 1.999\,711$$ hängt offenbar nicht von der Bandbreite $B$ ab. Die Differenz $$C_\mathrm{neu} - C_\mathrm{alt} = B \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{neu}/N)} - {B \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{alt}/N)}} = B \left(\operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{neu}/N)} - \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{alt}/N)}\right) = B \operatorname{ld}\left(\frac{{1+S_\mathrm{neu}/N}}{1+S_\mathrm{alt}/N}\right) \approx B \cdot 9.964\,344$$ aber sehr wohl. Hier ist auch der Wert $9.97$ zu finden. Servus, Roland


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-26

\quoteon(2022-12-25 21:26 - rlk in Beitrag No. 3) Die Differenz $$C_\mathrm{neu} - C_\mathrm{alt} = B \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{neu}/N)} - {B \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{alt}/N)}} = B \left(\operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{neu}/N)} - \operatorname{ld}{(1+S_\mathrm{alt}/N)}\right) = B \operatorname{ld}\left(\frac{{1+S_\mathrm{neu}/N}}{1+S_\mathrm{alt}/N}\right) \approx B \cdot 9.964\,344$$ aber sehr wohl. Hier ist auch der Wert $9.97$ zu finden. \quoteoff Aber auch wenn ich die Differenz berechne, ist das Ergebnis nicht nachvollziehbar. Bringe ich $C_{alt}$ auf die rechte Seite, hebt sich der $B\cdot \log$-Term mit $S_{alt}$ im Argument auf und übrig bleibt wieder $C_{neu} = B\cdot\log{(1+S_{neu}/N)}$. Die Frage ist ja nach der neuen Kapazität, wenn man die Sendeleistung erhöht. Für mich ist die Lösung nicht richtig.


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-26

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-12-26 02:45 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Aber auch wenn ich die Differenz berechne, ist das Ergebnis nicht nachvollziehbar. Bringe ich $C_{alt}$ auf die rechte Seite, hebt sich der $B\cdot \log$-Term mit $S_{alt}$ im Argument auf und übrig bleibt wieder $C_{neu} = B\cdot\log{(1+S_{neu}/N)}$. \quoteoff Warum wundert Dich das? Welches andere Ergebnis hast Du erwartet und warum? \quoteon Die Frage ist ja nach der neuen Kapazität, wenn man die Sendeleistung erhöht. Für mich ist die Lösung nicht richtig. \quoteoff Welche Lösung meinst Du? Ich dachte, dass Dir schon klar war, dass $(3)$ und $(4)$ nicht stimmt. \quoteon(2022-12-06 17:15 - Sinnfrei im Themenstart) 5. $$C = B\cdot\operatorname{ld}(1+SNR)$$ $$S_{alt} = 1~\mathrm{mW} \qquad S_{neu} = 1~\mathrm{W}\quad (30~\mathrm{dBm})\quad (1)$$ $$\Rightarrow C_{neu} = B\cdot \operatorname{ld}(1 + SNR_{alt}\cdot 1000)\quad (2)$$ $$C_{neu}= \color{red}{C_{alt} \cdot 9,97} = 99,67\cdot 10^3\cdot 9,97\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}\quad (3)$$ $$= 993\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}\quad (4)$$ \quoteoff Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-26

\quoteon(2022-12-26 21:09 - rlk in Beitrag No. 5) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-12-26 02:45 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Aber auch wenn ich die Differenz berechne, ist das Ergebnis nicht nachvollziehbar. Bringe ich $C_{alt}$ auf die rechte Seite, hebt sich der $B\cdot \log$-Term mit $S_{alt}$ im Argument auf und übrig bleibt wieder $C_{neu} = B\cdot\log{(1+S_{neu}/N)}$. \quoteoff Warum wundert Dich das? Welches andere Ergebnis hast Du erwartet und warum? \quoteon Die Frage ist ja nach der neuen Kapazität, wenn man die Sendeleistung erhöht. Für mich ist die Lösung nicht richtig. \quoteoff Welche Lösung meinst Du? Ich dachte, dass Dir schon klar war, dass $(3)$ und $(4)$ nicht stimmt. \quoteon(2022-12-06 17:15 - Sinnfrei im Themenstart) 5. $$C = B\cdot\operatorname{ld}(1+SNR)$$ $$S_{alt} = 1~\mathrm{mW} \qquad S_{neu} = 1~\mathrm{W}\quad (30~\mathrm{dBm})\quad (1)$$ $$\Rightarrow C_{neu} = B\cdot \operatorname{ld}(1 + SNR_{alt}\cdot 1000)\quad (2)$$ $$C_{neu}= \color{red}{C_{alt} \cdot 9,97} = 99,67\cdot 10^3\cdot 9,97\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}\quad (3)$$ $$= 993\cdot 10^3~\mathrm{Bit\over s}\quad (4)$$ \quoteoff \quoteoff Ja genau. Wenn ich mit der Differenz da rangehe, wäre es ja nur eine andere Aufgabe, also nicht so wie Sie in 5 gestellt wurde. Und das Ergebnis, das ich für $C_{neu}$ aus dem Themenstart berechnet hatte, ist richtig. Danke das du mir das nochmal gezeigt hast, dass sich die Bandbreite $B$ kürzt. Das hatte mich an der Stelle verwirrt, da ich auch schon eine Diskussion mit dem Prof. darüber hatte und ich daher nicht mehr darauf gekommen bin, dass Verhältnis von $C_{neu}$ zu $C_{alt}$ mal selber zu bestimmen.


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