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  Roulette-Aufgabe (de Moivre-Laplace) |
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Sekorita
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Mitteilungen: 473
 |  Themenstart: 2022-12-13
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Hallo Zusammen,
meine Überlegungen zu oben genannter Aufgabe sind folgende:
Sei X_1,....,_n: \Omega binominalverteilte Zufallsvariable mit Versuchslänge n \el\ \IN und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=19/37.
Ich möchte, dass meine X_1,,,,X_n den "Erfolg" des Verlierens des Spieler angeben, also ich spreche aus Sicht der Bank.
Zunächst prüfe ich, ob die Faustformel n*p*(1-p) >= 9 erfüllt ist.
Selbst wenn die Bank bei jedem Spiel gewinnt, braucht es mindestens 1000 Spiele, also n = 1000
1000* 19/37 * 18/37= 249,81 also kann man Moivre-Laplace verwenden.
und da die Erfolgswahrscheinlichkeit relativ groß ist, eignet sich hier die Approximation durch die Normalverteilung.
Beim weiteren Vorgehen habe ich jetzt meine Probleme.
Erstmal habe ich Probleme, die >= 1/2 einzuordnen, also dass die Bank mit einer Chance von mehr als 50% Gewinn macht.
Mein Vorgehen wäre jetzt gewesen, dass ich meinen Erwartungswert von 1000
ja gegeben habe und nun meine Versuchslänge herauskriegen möchte.
Generell ist ja der Erwartungswert
E[X] = sum(x*P(X=x) ,x\el\ S,) mit S:= X(\Omega)
= 1* P(X=1) + (-1)* P(X=0) , da bei "0" definiert als Misserfolg ja die Bank 1€ verliert.
Muss ich dann jetzt mit dem Satz von Moivre Laplace die Wahrscheinlichkeit
abschätzen ?
Oder bin ich hier auf dem Holzweg? Ich habe gerade einfach Probleme alles zusammenzubringen.... Für ein bisschen Ordnung und Klarheit wäre ich sehr dankbar
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luis52
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-14
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Moin, sei $S=\sum_{i=1}^nX_i$, was die Anzahl der Gewinne der Bank in $n$ Runden beschreibt.
1) Wie ist $X_i$ verteilt? (Nicht nur binomialverteilt.)
2) Wie ist $S$ verteilt? Warum?
3) Wie formulierst du das Ereignis $A$=Die Bank gewinnt mindestens 1000 Euro in Abhaengigkeit von $S$?
4) Was kannst du ueber $P(A)$ in Abhaengigkeit von $n$ aussagen?
5) Wie kannst du $n$ explizit bestimmen?
vg Luis
\(\endgroup\)
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Sekorita
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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Hallo :)
1)Also meine X_i sind nicht nur binominalverteilt sondern auch Bernoulli verteilt,
denn jedes meiner X_i beschreibt ja den Gewinn in der jeweiligen Runde und dort gibt es nur Erfolg oder Misserfolg.
2) S hat dann die Binominalverteilung, da es sich bei S um n-unabhängige Bernoulli Experimente handelt .
3) A= Die Bank gewinnt mindestens 1000€ dürfte genau dann eintreten, wenn S>=1000 ist.
4) Möchtest du hier darauf hinaus, dass in jeder Runde n die Wahrscheinlichkeit Zu gewinnen 19/37 beträgt?
5) n explizit bestimmen, müsste ja dann über Moivre-Laplace gehen
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luis52
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Mitteilungen: 984
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-15
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
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\quoteon(2022-12-15 13:33 - Sekorita in Beitrag No. 2)
4) Möchtest du hier darauf hinaus, dass in jeder Runde n die Wahrscheinlichkeit Zu gewinnen 19/37 beträgt?
5) n explizit bestimmen, müsste ja dann über Moivre-Laplace gehen
\quoteoff
4,5) Na, dann los. Approximiere $P(A)=P(S\ge1000)$ mit dML und loese nach $n$ auf.
vg Luis\(\endgroup\)
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Sekorita
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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Dann versuche ich das doch mal :
Wie bereits gesagt, ist ja die Annährung über dML erlaubt / gewünscht.
P(A) = P(S>=1000) und das soll ja mehr als 50% betragen, also folgt:
0,50>=P(S>=1000) =>
0,50>= 1- (1000- n* p)/(sqrt(n*p*q)
<=>
0,50>= 1- (1000- n* 19/37)/(sqrt(n*19/37*18/37)
<=>
0,50>= 1- (1000- n* 19/37)/(sqrt(n)* sqrt(19/37)*sqrt(18/37)
<=>
0,50>= 1- 1000 /(sqrt(n)* sqrt(19/37)*sqrt(18/37)) + n*(19/37) /(sqrt(n)* sqrt(19/37)*sqrt(18/37)
<=>
0,50>= 1- 1000 /(sqrt(n)* sqrt(19/37)*sqrt(18/37)) + sqrt(n) * sqrt(19/37) /sqrt(18/37)
wobei ich hier erstmal stoppe um mich nicht um Kopf und Kragen umzuformen, bzw. erstmal zu erfahren, ob der Gedanke richtig ist ?
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luis52
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-15
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
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\quoteon(2022-12-15 20:43 - Sekorita in Beitrag No. 4)
Dann versuche ich das doch mal :
Wie bereits gesagt, ist ja die Annährung über dML erlaubt / gewünscht.
P(A) = P(S>=1000) und das soll ja mehr als 50% betragen, also folgt:
0,50>=P(S>=1000) =>
0,50>= 1- (1000- n* p)/(sqrt(n*p*q)
\quoteoff
Ich rechne so:
\[P(S\ge1000)\ge\frac{1}{2}\iff1-P(S\le999)\ge\frac{1}{2}\iff\frac{1}{2}\ge P(S\le999)\,.\]
vg Luis\(\endgroup\)
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Sekorita
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-16
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Dann ein neuer Versuch:
1/2 >=P(S<=999)
<=>
1/2 >= (999-n*19/37)/ sqrt(n*19/37*18/37)
Ich muss jetzt ganz offen sagen, dass ich hin und her gerödelt habe, die Gleichung aber nicht richtig aufgelöst bekommen habe. WolframAlpha hat 1924,07387 ausgerechnet, also müsste 1925 mal gespielt werden. Gab es hier einen Trick sinnvoll und schnell aufzulösen ? Das letzte worauf ich kam ist,
n^(1/2) * 1/2 * sqrt(342) >= 999 - n^(3/2)*19
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luis52
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-16
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Nach dML ist mit $p=19/37$
\[\frac{1}{2}\ge P(S\le999)\approx\Phi\left(\dfrac{999-np}{\sqrt{np(1-p}}\right)\]
also
\[\dfrac{999-np}{\sqrt{np(1-p}}\approx0\,.\]
vg Luis \(\endgroup\)
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Sekorita
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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Hey,
Das verstehe ich leider nicht... also der Term soll dann gleich 0 ergeben ? Also muss ich den nach 0 auflösen ? Ich dachte ich hätte die Annährung durch Moivre-Laplace verstanden, aber das mit dem ungefähr 0 verstehe ich leider nicht...
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luis52
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-18
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\quoteon(2022-12-18 21:05 - Sekorita in Beitrag No. 8)
Hey,
Das verstehe ich leider nicht... also der Term soll dann gleich 0 ergeben ? Also muss ich den nach 0 auflösen ? Ich dachte ich hätte die Annährung durch Moivre-Laplace verstanden, aber das mit dem ungefähr 0 verstehe ich leider nicht...
\quoteoff
Ich unterstelle, dass du
\[\frac{1}{2}\ge P(S\le999)\approx\Phi\left(\dfrac{999-np}{\sqrt{np(1-p}}\right)\]
verstehst. Das bedeutet, dass der Ausdruck in $\Phi(\cdot)$ gleich dem Median bzw. dem Erwartungswert bzw. Symmetriepunkt der Standardnormalverteilung ist. Zeichne mal die entsprechende Dichte, vllt leuchtet es dir dann ein.
vg Luis\(\endgroup\)
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Sekorita
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-19
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Gesagt getan und es leuchtet mir jetzt ein..... Ich hatte einfach die Eigenschaften der Standardnormalverteilung nicht bedacht.... Vielen lieben Dank für die hoffentlich letzte Hilfe in diesem Jahr ( wer weiß ob wir vor den Ferien noch ein ÜB kriegen) und Dir und deinen Liebsten eine schöne und frohe Weihnachtszeit 😃
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Hilfe_90.1.JPG
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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sekorita hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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