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 Wahrscheinlichkeitsraum für poissonverteilte ZV |
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WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 476
 |  Themenstart: 2022-12-18
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Hallo zusammen,
bei uns (Stochastikkurs, noch nicht Wahrscheinlichkeitstheorie) wurde gerade die Poissonverteilung als diskrete Verteilung eingeführt, aber leider wird nirgendwo gesagt auf welchem WSK-Raum bzw. Grundraum eine solche ZV definiert ist.
Wir haben jetzt alle möglichen Beispiele, Aufgaben, Approximationen etc. besprochen, aber bei jeder Gelegenheit wird dieser Aspekt des Grundraumes elegant umgangen ...
Meine Vermutung ist, dass man das ohne tiefer in Wahrscheinlichkeits- oder Maßtheorie einzutauchen auch nicht so easy machen kann.
Vielleicht kann mir das jemand bestätigen oder ggf. einen Hinweis geben was es damit auf sich hat.
Viele Grüße
WagW
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3644
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-18
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Hi,
die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Der Wahrscheinlichkeitsraum ist $ (\mathbb N, 2^{\mathbb N}, P(\cdot)) $ mit \[
P(A) =e^{-\lambda}\sum_{k\in A}\frac{\lambda^k}{k!},
\]
hierbei ist $2^{\mathbb N}$ die Menge aller Teilmengen von $\mathbb N$ und $A$ eine Teilmenge von $\mathbb N$.
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WagW
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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Hallo ochen,
Du hast mich falsch verstanden, ich suche nicht den WSK-Raum der durch die ZV erzeugt wird, sondern den WSK-Raum auf dem die ZV definiert ist.
Also, wenn $X:\Omega\to\mathbb{R}$ Poissonverteilt ist, wie sieht dann $\Omega$ aus?
Ich muss ja in die ZV $X$ irgendein Element $\omega\in\Omega$ einsetzen, wie sieht dieses $\omega$ aus?
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ochen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-18
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Ja ok, verstehe. Dann könnte es zum Beispiel trotzdem sinnvoll sein, dass wir $\Omega=\mathbb N$ und $\Sigma=2^{\mathbb N}$ und $X(\omega)=\omega$ für alle $\omega\in\Omega$ wählen.
Du hast recht, im eigentlichen Sinne ist $X$ eine Funktion. Aber ich bin mir nicht so ganz sicher, ob das manchmal nur formelle Gründe hat. Wenn deine Ergebnismenge $\{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}$ ist, brauchst du diese Abbildung, weil du mit 0 und 1 besser rechnen kannst.
Bestimmt gibt es auch sinnvolle Anwendungen der Poisson-Verteilung, wenn $\Omega=\mathbb Z$ ist oder ein Gitter ist oder noch irgendetwas anderes ist. Aber das musst du dann allein herausfinden. Wichtig ist, dass $X$ auf $\mathbb N$ abbildet.
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WagW
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Dabei seit: 15.02.2018
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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Also bei Poissonverteilten ZVn ist ja der Klassiker, dass ein Zeitintervall gegeben ist in dem an zufälligen Zeitpunkten Ereignisse eintreten können. Die Poissonverteilte ZV gibt dann die Anzahl der Ereignisse wider.
Wie man jetzt in solchen Beispielen sinnvoll zeigen kann, dass $\mathbb{N}$ ein Grundraum wäre, leuchtet mir nicht ein 🤔
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46782
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-18
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\quoteon(2022-12-18 19:34 - WagW in Beitrag No. 4)
Wie man jetzt in solchen Beispielen sinnvoll zeigen kann, dass $\mathbb{N}$ ein Grundraum wäre, leuchtet mir nicht ein 🤔
\quoteoff
Hi WagW,
die Anzahl von Ereignissen ist immer eine natürliche Zahl, und jede natürliche Zahl kann als Anzahl vorkommen. Somit ist die mögliche Wertemenge einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen genau die Menge der natürlichen Zahlen.
Gruß Buri
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michfei
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 02.03.2022
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-18
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Hallo WagW,
bei vielen Zufallsexperimenten spielt es keine Rolle, was der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitstraum ist, man muss diesen also nicht konstruieren.
In solchen Fällen codiert die Zufallsvariable (bzw. ihre Verteilung) alle nötigen Informationen.
LG
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WagW
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Mitteilungen: 476
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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Hallo Buri, hallo michfei,
\quoteon(2022-12-18 19:58 - Buri in Beitrag No. 5)
\quoteon(2022-12-18 19:34 - WagW in Beitrag No. 4)
Wie man jetzt in solchen Beispielen sinnvoll zeigen kann, dass $\mathbb{N}$ ein Grundraum wäre, leuchtet mir nicht ein 🤔
\quoteoff
Hi WagW,
die Anzahl von Ereignissen ist immer eine natürliche Zahl, und jede natürliche Zahl kann als Anzahl vorkommen. Somit ist die mögliche Wertemenge einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen genau die Menge der natürlichen Zahlen.
Gruß Buri
\quoteoff
wie zuvor schon bei ochen bemerkt, bezieht sich mein Problem nicht auf den von der ZV erzeugten WSK-Raum, sondern auf den WSK-Raum auf dem die ZV definiert ist.
\quoteon(2022-12-18 20:06 - michfei in Beitrag No. 6)
Hallo WagW,
bei vielen Zufallsexperimenten spielt es keine Rolle, was der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitstraum ist, man muss diesen also nicht konstruieren.
In solchen Fällen codiert die Zufallsvariable (bzw. ihre Verteilung) alle nötigen Informationen.
LG
\quoteoff
Trotzdem würde mich interessieren wie man einen Grundraum $\Omega$, auf dem die Poissonverteilte ZV definiert ist, konstruiert bzw. welchen man nimmt. Bei jeder diskreten ZV war das bisher bei uns möglich.
Viele Grüße
WagW
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3644
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-12-18
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\quoteon(2022-12-18 20:17 - WagW in Beitrag No. 7)
Bei jeder diskreten ZV war das [Angeben des Grundraums $\Omega$] bisher bei uns möglich.
Viele Grüße
WagW
\quoteoff
Erkläre das mal bitte anhand eines Beispiels, wie du es meinst.
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 476
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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\quoteon(2022-12-18 21:22 - ochen in Beitrag No. 8)
\quoteon(2022-12-18 20:17 - WagW in Beitrag No. 7)
Bei jeder diskreten ZV war das [Angeben des Grundraums $\Omega$] bisher bei uns möglich.
Viele Grüße
WagW
\quoteoff
Erkläre das mal bitte anhand eines Beispiels, wie du es meinst.
\quoteoff
Münzwurf bis das erste Mal Kopf erscheint, Kugeln ziehen etc. Also Experimente die zu diskret verteilten ZVn führen und bei einer Stochastik-VL standardmäßig präsentiert werden. In solchen Fällen kann man ja ein $\Omega$ angeben.
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AnnaKath
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2022-12-18
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Huhu WagW,
michfei hat ja bereits darauf hingewiesen, dass es in aller Regel völlig unwichtig ist, auf welchem Raum eine Zufallsvariable definiert ist.
Hier kannst Du z.B. den folgenden Raum $(\mathbb{N}, 2^\mathbb{N}, P)$ wählen, wobei $P$ durch $P({n}) = \frac{\lambda^n}{n!}\mathrm{e}^{-\lambda}$ festgelegt ist.
Eine (dann offensichtlich Poisson-verteilte) Zufallsvariable $X:\Omega \to \mathbb{N}$ wäre dann z.B. $X=\mathrm{id}$.
lg, AK
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 984
 | Beitrag No.11, eingetragen 2022-12-18
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Moin WagW, es ist schon so, dass die Verteilung einer Zufallsvariablen $X\,:\,\Omega\to\IR$ eindeutig durch ihre Verteilungsfunktion $F:\IR\to\IR$ (oder ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion/Dichte $f$) festgelegt ist. Meist begnuegt man sich bei der Definition der Verteilung von $X$ mit der Angabe von $F$ (oder $f$), $\Omega$ tritt dann in den Hintergrund. Aber wie du oben schon vermutet hast, man kann ein passendes $\Omega$ dazu konstruieren. Vllt koennte die Abteilung zur Masstheorie hier im MP Naeheres dazu sagen, wie das technisch funktioniert. Fuer mich ist dieses Eis leider zu bruechig. Aber auch die Eingabe von random variable sample space connection bei Googles liefert vielversprechende Anlaufstellen.
vg Luis
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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\quoteon(2022-12-18 23:35 - AnnaKath in Beitrag No. 10)
Huhu WagW,
michfei hat ja bereits darauf hingewiesen, dass es in aller Regel völlig unwichtig ist, auf welchem Raum eine Zufallsvariable definiert ist.
Hier kannst Du z.B. den folgenden Raum $(\mathbb{N}, 2^\mathbb{N}, P)$ wählen, wobei $P$ durch $P({n}) = \frac{\lambda^n}{n!}\mathrm{e}^{-\lambda}$ festgelegt ist.
Eine (dann offensichtlich Poisson-verteilte) Zufallsvariable $X:\Omega \to \mathbb{N}$ wäre dann z.B. $X=\mathrm{id}$.
lg, AK
\quoteoff
Wie würde mir denn das weiterhelfen, wenn ich die oben erwähnte Situation betrachte in der in einem Zeitintervall zufällig Ereignisse eintreten können?
Da kann ich ja nicht einfach $\mathbb{N}$ als Grundraum bzw. Definitionsbereich der ZV nehmen....
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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AnnaKath
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-12-19
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Huhu WagW,
\quoteon(2022-12-18 19:34 - WagW in Beitrag No. 4)
Also bei Poissonverteilten ZVn ist ja der Klassiker, dass ein Zeitintervall gegeben ist in dem an zufälligen Zeitpunkten Ereignisse eintreten können. Die Poissonverteilte ZV gibt dann die Anzahl der Ereignisse wider.
\quoteoff
Das ist also ein Klassiker? Du solltest vielleicht erwähnen, was Du hier mit "zufällig" meinst... Es gibt jedenfalls keine Gleichverteilung auf den nichtnegativen reellen Zahlen (Zeit) bzgl. der Borel-Algebra.
Vielleicht meinst Du ja das Folgende: Treten irgendwelche "Ereignisse" (nicht im w'theoretischen Sinne!) nach einander so auf, dass unabhängig von der bereits vergangenen "Wartezeit" die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht, dass ein Ereignis im "folgenden" Zeitintervall auftritt (die Wartezeit ist dann exponentialverteilt), so ist die Anzahl der Ereignisse $N(a,b)$, die in einem Intervall $[a,b)$ auftreten, eine Poissonverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $\lambda (b-a)$. Der Parameter $\lambda$ hängt von der zugrunde liegenden Exponentialverteilung ab.
Eine solches Konstruktion nennt man (homogenen) Poisson-Prozess.
Wie dem auch sei... Leider verstehe ich nicht, worauf Du eigentlich hinaus willst.
Zwar kann man auf $[0,\infty)$ eine Poisson-verteilte Zufallsvariable konstruieren, aber sie wird vermutlich nicht das "tun", was Du Dir vorstellt ("Ereignisse zählen").
lg, AK
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WagW
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-21
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Hallo AnnaKath,
ich befürchte, dass ich warten sollte bis ich Wahrscheinlichkeitstheorie gehört habe, um das Ganze richtig einzuordnen. Denn ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich da zu naiv rangehe, aber vielleicht hilft mir das ja beim weiteren Verständnis...
\quoteon(2022-12-19 00:37 - AnnaKath in Beitrag No. 13)
Huhu WagW,
\quoteon(2022-12-18 19:34 - WagW in Beitrag No. 4)
Also bei Poissonverteilten ZVn ist ja der Klassiker, dass ein Zeitintervall gegeben ist in dem an zufälligen Zeitpunkten Ereignisse eintreten können. Die Poissonverteilte ZV gibt dann die Anzahl der Ereignisse wider.
\quoteoff
Das ist also ein Klassiker? Du solltest vielleicht erwähnen, was Du hier mit "zufällig" meinst... Es gibt jedenfalls keine Gleichverteilung auf den nichtnegativen reellen Zahlen (Zeit) bzgl. der Borel-Algebra.
[...]
\quoteoff
Da kann ich jetzt nur aus unserem Stochastikbuch oder Wikipedia zitieren, wo das die gängigen Beispiele sind bei denen die Poissonverteilung Anwendung findet; also eine ZV, die die Anzahl an Ereignissen (Blitzschlägen, Unfällen etc...) innerhalb eines Zeitintervalls angibt.
Daher ist meine Vorstellung, dass der Grundraum $\Omega$ aus allen möglichen Verläufen des Zeitintervalls besteht. Für einen Verlauf $\omega$ kann dann bspw. $X(\omega)=5$ gelten und für einen anderen Verlauf des Zeitintervall gilt bspw. $X(\omega')=2$.
Weißt Du wie ich das meine?
Viele Grüße
WagW
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