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  Satz des Archimedes |
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spikespiegel43
Aktiv 
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2023-01-10
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Hallo,
ich habe in einer Vorlesung einmal folgendes gesehen:
\( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} < \epsilon \). Jetzt frage ich mich wie kommt man darauf?
Nach Satz des Archimedes gilt ja:
\(\frac{1}{n} < \epsilon \) also gilt auch
\(\frac{1}{n} < \epsilon < \frac{\tilde{\epsilon}}{2} \) und
\(\frac{1}{m} < \epsilon < \frac{\tilde{\epsilon}}{2} \)
wodurch \( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} < \tilde{\epsilon} \)
Ist diese Herleitung so richtig?
Also ist mit \( \epsilon \) eigentlich ein anderes als das im Satz des Archimedes gemeint?
Liebe Grüße
spike
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2070
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
es gibt nicht "das" $\varepsilon$ im Satz des Archimedes (respektive archimedisches Axiom).
Die Aussage des Satzes (res. Axiom) lautet genauer: Für jedes $\varepsilon >0$ gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb N$ mit $\frac 1n<\varepsilon$.
Man kommt hier auch ohne jegliche Symbole aus und könnte (äquivalent zu obiger Formulierung) sagen: Zu jeder reellen Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die größer ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7086
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-11
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Deine Herleitung ist von der Idee her richtig, Du musst aber die Rollen von $\epsilon$ und $\tilde{\epsilon}$ vertauschen.
Zu zeigen: Für jedes reelle $\epsilon>0$ gibt es natürliche Zahlen $m$ und $n$ it $1/n+1/m<\epsilon$.
Sei $\epsilon>0$ beliebig gewählt. Dann ist $\tilde{\epsilon}=\epsilon/2>0$ und es gibt nach dem Archimedischen Axiom eine natürliche Zahl $n$ mit $1/n < \tilde{\epsilon}$.
Dann ist $1/n + 1/n < 2\cdot \tilde{\epsilon}=\epsilon$.
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spikespiegel43
Aktiv 
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-27
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\quoteon(2023-01-11 18:34 - Kitaktus in Beitrag No. 2)
Deine Herleitung ist von der Idee her richtig, Du musst aber die Rollen von $\epsilon$ und $\tilde{\epsilon}$ vertauschen.
Zu zeigen: Für jedes reelle $\epsilon>0$ gibt es natürliche Zahlen $m$ und $n$ it $1/n+1/m<\epsilon$.
Sei $\epsilon>0$ beliebig gewählt. Dann ist $\tilde{\epsilon}=\epsilon/2>0$ und es gibt nach dem Archimedischen Axiom eine natürliche Zahl $n$ mit $1/n < \tilde{\epsilon}$.
Dann ist $1/n + 1/n < 2\cdot \tilde{\epsilon}=\epsilon$.
\quoteoff
Vielen Dank dadurch ist mir das klar geworden. Man sagt also \( \tilde{\epsilon} = \frac{\epsilon}{2} > 0 \) und deshalb muss der Satz des Archimedes gelten und man findet ein passendes \( \frac{1}{n} \).
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