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  Anzahl der Moden im Rayleigh-Jeans-Gesetz |
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Seligman
Aktiv 
Dabei seit: 11.01.2020
Mitteilungen: 207
 |  Themenstart: 2023-01-15
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Guten Abend,
ich habe da eine Frage zur Herleitung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes :
Wir realisieren einen schwazen Körper als einen Würfel mit Kantenlänge $N$ und wollen Energiedichte $\omega(T)= \int \omega(\nu,T) d \nu= \int \frac{dn(\nu)}{d \nu} \cdot \bar{E}_{\nu}(T) d \nu $ bestimmen, wobei
$\bar{E}_{\nu}$ die mittlere Energie pro Mode $\nu$ und
$dn(\nu)$ Anzahl der Moden im Frequenzintervall $[\nu, \nu + d \nu]$.
Equivalent entspricht $dn(\nu)$ auch der Anzahl der Wellenzahlen =Moden $\vec{k}$, deren Länge $k= \vert \vec{k} \vert $ im Intervall $[k(\nu),k(\nu)+ dk]$ liegt und die kompatible Randbedindungen der Würfels erfüllen, mal Faktor $2$, wobei wir die Beziehung $k=2 \pi \frac{\nu}{c}$ ausnutzen.
Meine Frage ist, woher der Faktor zwei? Der soll doch die Anzahl der Polarisierungsgrade anzählen. Wieso gibt es hier zwei? Theoretisch gibt es doch unendlich viele Möglichkeiten, eine ebene Welle mit Wellenzahl $\vec{k}$ zu polarisieren? Dewegen verstehe ich nicht, woher die $2$ kommen.
Gruß,
Seligman
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wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1726
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-15
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Hallo Seligman,
elektromagnetische Wellen im Vakuum sind transversal, d.h. \(\vec E \cdot \vec k=0\). Also liegt die Amplitude in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und kann daher durch zwei Basisvektoren beschrieben werden. Auf einer tieferen Ebene ist die Transversalität einer elektromagnetischen Welle eine Folge der Masselosigkeit des Photons.
lg Wladimir
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Seligman
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Dabei seit: 11.01.2020
Mitteilungen: 207
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-15
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Hallo Wladimir,
also ja, es stimmt natürlich, dass der $k, E, B$ Tripel stets orthogonal ist. Auch stimme ich zu, dass wenn wir ein konkretes $\vec{k}$ "festhalten",
dann ist der Raum aller Moden bzglich $\vec{k}$ $2$-dimensional, also jeder Mode bzgl jenem $\vec{k}$ ist lineare Summe zweier "Basis-Moden". Aber
bei $dn(\nu)$ summieren wir doch über alle Moden, für einen fixes $\vec{k}$ wäre das der gesammte 2D Vektorraum, dieser ist wiederum unendlich.
Oder ist es per Definitionem so, dass wenn man davon spricht, dass man "über alle Moden aufsummiert", dann meint man eigentlich nur (!) die Summation über alle zueinander linear unabhängige Moden, und nicht "alle" Moden im wörtlichen Sinne? (Das wäre ja, der ganze $R^2$ pro ein $\vec{k}$, das ist ja natürlich absurd =)
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wladimir_1989
Senior
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Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-15
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Hallo,
eigentlich zählen wir alle Freiheitsgrade, die bei gegebenen Randbedingungen angeregt werden können, und nicht alle sich daraus resultierenden Wellen. Auch bei der Anzahl der Wellenvektoren, die "reinpassen", sind es ja nur die "Basiswellen", die wir zählen, denn wir können ja diese Basiswellen immer zu beliebigen Linearkombinationen mit beliebigen Koeffizienten aufaddieren.
lg Wladimir
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Seligman
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-15
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Das wirkt auf den ersten Blick irgendwie kontraintuitiv. Am Ende möchten wir doch die Gesamtenergie des Systems bei Temperatur T berechnet haben ( eigentlich die Energiedichte, aber das hängt nur davon ab, ob wir durch Volumen V teilen oder eben nicht).
Dann erscheint es doch irgendwie plausibler über alle möglichen Konfigurationen zu summieren bzw intergrieren. Dh beim integriren scannen wir gewisserweise den Frequenzraum entlang und "gewichten" bei der Summation/ Integration die Energien $ E_{\nu}$ mit allen Zuständen/ Moden die eben diese Freuenz haben.
Heuristisch müsste dann die Gesamtenerie sowas wie $ \int E_{\nu} (\# \text{ alle Zustande mit Frequenz } \nu ) d \nu $ geben, was wiedrum rein mathematisch gesehen unsinnigen Ausdruck geben würde, weil der Ausdruck in der Klammer die Kardinalität von R^2 hätte.
Anderseits verstehe ich vom heuristischen bzw intuitiven Standpunkt nicht, wieso man nur über die Basis- Modes zu summieren bracht. Naiv gesprochen klingt diese Herangehensweise so, als ob wenn man versuchen würde das Gesamtgewicht eines Sacks mit Mehl zu bestimmen, man pickt sich drei Mehlkörner raus, deren Koordinaten nicht in einer 2D Ebene liegen (deren Koordinaten also mathematisch gesprochen Basis von R^3 bilden) und summiert nur über deren Gewicht auf.
Welchen wesentlich Denkfehler mache ich bei meinem Versuch die "Analogie" zur Berechnung der Gesamtenergie herzustellen?
(nat7rlich ist dieses Beispiel absurd, aber der veranschaucht ganz gut genau den Aspekt, der mich bei der Berechnung der Gesamtenergie(dichte) von oben verwirrt bzw meinen Denkfehler dabei aufzeigt, weil man da wie du gesagt hast die Anzahl der Freiheitsgrade als Gewichtungskoeffizienten der $E_{\nu}$ verwendet, was gewisserweise das Pendant zum Rausgreifen von Körnern wären, deren Koordinaten linear unabhängig als Vektoren in R^3 vorliegen)
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Seligman
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Mitteilungen: 207
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Wollte mal Feedback geben, dass sich das Thema erledigt hat. Der Denkfehler bei mir erwuchs damals daraus, das ich Übersehen habe, dass n bzw dn (im Frequenzintervall) per Definition wirklich die Anzahl der Moden (=Basiswellen) zählt, und nicht etwa aller Zustände oder deren Dichte etc. Wenn man dieses Missverständnis ausräumt, ist es genauso wie Wladimir es oben beschrieben hat, danke!
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