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Mathematik » Stochastik und Statistik » Äquivalenzen zur fast sicheren Konvergenz
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Universität/Hochschule Äquivalenzen zur fast sicheren Konvergenz
WagW
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  Themenstart: 2023-01-24 22:40

Hallo, https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/49610_Unbenannt566565.JPG Ich denke, dass Aussage b.) nicht aus $a.)$ folgt bzw. nicht äquivalent ist. Wenn $\Omega$ der zu Grunde liegende Grundraum ist und wir nun das Komplement von a.) betrachten, dann sollte es doch heißen, dass es für jedes $\omega\in\Omega$ ein ggf. "eigenes" $\epsilon >0$ gibt, also $$ \mathbb{P}\left(\omega\in\Omega\mid \exists \epsilon>0\text{ mit } \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k\geq n}^{\infty}\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq\epsilon\right)=0. $$ Oder? viele Grüße WagW


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-24 23:50

\quoteon(2023-01-24 22:40 - WagW im Themenstart) $$ \mathbb{P}\left(\omega\in\Omega\mid \exists \epsilon>0\text{ mit } \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k\geq n}^{\infty}\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq\epsilon\right)=0. $$ \quoteoff Was du hier hingeschrieben hast ist im Wesentlichen $(c)$. Aber warum soll aus $(a)\iff(c)$ folgen, dass $(a)\iff(b)$ nicht gilt? Versuche doch mal, $(b)\iff(c)$ zu zeigen. --zippy


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WagW
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-25 02:25

Hallo zippy, ich glaube ich habe mich da zu sehr von der punktweisen Konvergenz aus Analysis verleiten lassen, wo man für nicht-Konvergenz nur irgendein $\epsilon>0$ finden muss. Also dann betrachte ich mal $b\iff c$. $b.) \implies c.)$: Wenn ich $\epsilon:=\frac{1}{m}$ setze dann sieht man $ P\left(\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}\right)\leq \sum\limits_{m=1}^{\infty}P\left(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}\right)=0$ aufgrund der $\sigma$-Subadditivität. $c.)\implies b.)$: Für ein beliebiges $\epsilon>0$, finde ich immer ein $m$ mit $\epsilon>\frac{1}{m}$, also gilt $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\subseteq \bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}$. Daher folgt für alle $\epsilon>0$ $ P\left(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\right)\leq P\left(\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}\right)=0. $ Der Vollständigkeit halber noch einmal $a.) \implies b.)$: Für eine beliebiges $\epsilon>0$ gilt unter Verwendung der De Morganschen Regeln und der WSK Regeln bzgl. Komplementen: $P\left(\omega\in\Omega\mid \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|< \epsilon\right\}\right)=1\implies P\left(\omega\in\Omega\mid \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\right)=0 .$ Da das $\epsilon>0$ beliebig gewählt wurde gilt damit $P\left(\omega\in\Omega\mid \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\right)=0$ für alle $\epsilon>0$. Stimmt das so?


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