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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen
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Universität/Hochschule Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen
physics100
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  Themenstart: 2023-01-27

Hallo alle miteinander! Ich soll hier die Eigenvektoren und die Eigenwerte bestimmen. Das habe ich auch getan, aber wenn ich die Probe mache, dann stimmt der EV= (-4 -1 0) nicht. Warum? Stimmen hier die EV überhaupt? Der EV (0 0 -1) sollte so passen, aber der EV (-4 -1 0) stimmt nicht, warum? Kann mir das jemand bitte erklären? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54385_4AEFD2B5-DF61-421C-AC1E-2C6AEA82288F.jpeg


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wie so oft ist deine Rechnung nicht wirklich nachvollziehbar. Könntest du vielleicht einmal dazu übergehen, deine Rechnungen hier einzutippen? Jedenfalls: wie kommst du für den ersten Eigenvektor (zum Eigenwert \(\lambda=2\)) auf die Idee, dass sich \(x_1\) und \(x_2\) wie 4:1 verhalten? Es geht ja letztendlich einfach um die Lösungsmenge der Gleichung \(-3x_1+4x_2=0\). Der zweite Eigenvektor ist korrekt. Beim Berechnen der Eigenwerte sollte deutlich werden, dass der Eigenwert \(\lambda=2\) die algebraische Vielfachheit 2 besitzt. Das hast du oben unterschlagen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Eigenwerte' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]\(\endgroup\)


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physics100
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-27

Erstmal danke für deine Rückmeldung Diophant! Ich lade die Rechnung als Bild-Datei hoch, da ich mich mit Latex leider nicht auskenne. Ich weiß nun wo der Fehler ist. Ich muss in der 1. Spalte und 1.Zeile immer eine 1 erzeugen, nur so kann die Rechnung stimmen. Ich dachte, dass in der 1.Zeile 1.Spalte irgendeine Zahl stehen kann, sobald die unteren Zeilen alle 0 sind. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54385_CD0A3F0D-F8AF-426D-99EE-D9DEFB324577.jpeg


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2023-01-27 20:15 - physics100 in Beitrag No. 2) Ich lade die Rechnung als Bild-Datei hoch, da ich mich mit Latex leider nicht auskenne. \quoteoff Es gibt hier nicht nur LaTeX, sondern auch einen hauseigenen Formeleditor, den man sogar teilweise mit der Maus bedienen kann und der eine eigene Vorschau besitzt. \quoteon(2023-01-27 20:15 - physics100 in Beitrag No. 2) Ich weiß nun wo der Fehler ist. Ich muss in der 1. Spalte und 1.Zeile immer eine 1 erzeugen, nur so kann die Rechnung stimmen. Ich dachte, dass in der 1.Zeile 1.Spalte irgendeine Zahl stehen kann, sobald die unteren Zeilen alle 0 sind. \quoteoff Auch hier ist es mir ehrlich gesagt zu umständlich, deine Rechnung nachzuvollziehen. Neben der Handschrift kommen nämlich auch und vor allem noch deine inkonsistenten Schreibweisen dazu. Warum gibst du die Eigenvektoren denn so kompliziert an? Zum Eigenwert \(\lambda=2\) hat man die beiden Eigenvektoren \[v_1=\bpm 4\\3\\0 \epm\quad,\quad v_2=\bpm 0\\0\\1 \epm\] Und gut ist. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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physics100
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29

Ach, okay. ich verwende das nächste mal den Formeleditor, danke! Also wenn ich dich richtig verstanden habe, dann stimmt das auch, oder? (-4/3;-1;0) = 1/3 (-4;-3;0) = (4;3;0)


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  Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-29

Hallo, \quoteon(2023-01-29 08:46 - physics100 in Beitrag No. 4) Ach, okay. ich verwende das nächste mal den Formeleditor, danke! Also wenn ich dich richtig verstanden habe, dann stimmt das auch, oder? (-4/3;-1;0) = 1/3 (-4;-3;0) = (4;3;0) \quoteoff Ja, warum denn auch nicht (bis auf die Tatsache, dass die letzte Gleichheit falsch ist...)? Du solltest vielleicht einmal gründlich studieren, was Eigenwerte und -vektoren sind. Also welche Bedeutung ihnen zukommt, und nicht nur, wie man sie ausrechnet. Dann stellen sich solche Fragen nämlich nicht, denn dann weiß man: zu jedem Eigenvektor ist jedes Vielfache dieses Vektors (mit Ausnahme des Nullvektors) ebenfalls Eigenvektor (zum gleichen Eigenwert). Gruß, Diophant


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physics100
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29

Ich kann nur nicht nachvollziehen wie du auf (4;3;0) gekommen bist. Hast du den Vektor (-4/3;-1;0) einfach dann mit -3 multipliziert?


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  Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2023-01-29 10:46 - physics100 in Beitrag No. 6) Ich kann nur nicht nachvollziehen wie du auf (4;3;0) gekommen bist. Hast du den Vektor (-4/3;-1;0) einfach dann mit -3 multipliziert? \quoteoff Ja, was denn sonst? Das kannst du doch offensichtlich selbst nachvollziehen? Wie gesagt: dein mangelndes Verständnis der Materie wird nicht durch das Nachvollziehen irgendwelcher Rechnungen behoben, sondern indem du die grundlegenden bzw. beteiligten Definitionen studierst und dir dann Gedanken zur Bedeutung des ganzen Konzepts machst. In diesem Fall geht das wunderbar, indem man sich die Abbildungsmatrizen bestimmter einfacher Abbildungen des \(\IR^2\) bzw. des \(\IR^3\) auf sich selbst anschaut. Welche Eigenwerte und Eigenvektoren muss bspw. eine Achsenspiegelung im \(\IR^2\) (mit Spiegelachse durch den Ursprung) besitzen? Wenn man das Konzept verstanden hat, muss man zur Beantwortung obiger Frage nichts rechnen... Auf der zugehörigen Wikipediaseite gibt es gleich zu Beginn ja auch ein "prominentes" Beispiel. 😉 Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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physics100
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-30

Alles klar, vielen Dank! Ich werde das zu Herzen nehmen, aber manchmal helfen mir die Internetquellen nicht wirklich um die Rechnungen zu verstehen, aber ich werde mir das Thema genauer anschauen. Vielen Dank! Bei Fragen melde ich mich hier wieder.


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  Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-30

\quoteon(2023-01-30 18:18 - physics100 in Beitrag No. 8) Alles klar, vielen Dank! Ich werde das zu Herzen nehmen, aber manchmal helfen mir die Internetquellen nicht wirklich um die Rechnungen zu verstehen, aber ich werde mir das Thema genauer anschauen. Vielen Dank! Bei Fragen melde ich mich hier wieder. \quoteoff Hm. "Buch macht kluch" hat mal jemand gesagt... Gruß, Diophant


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