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 Grenzwert mit Hilfe von L'Hospital berechnen |
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marathon
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Mitteilungen: 693
 |  Themenstart: 2023-01-27
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Hallo hier wieder eine neue Aufgabe
hier geht es um Grenzwerte
die Aufgabe heißt
\
lim(x-> 0,x)(1/sin(x)- 1/x)
gut wenn ich die Aufgabe versuche zu analysieren erkenne ich
auch aus der möglichen Vorstellung heraus das -1/x wenn ich das x
gegen 0 laufen lasse gegen +-\inf läuft wobei dann wiederum die
Unterscheidung möglich wäre ob ich von 0^(-) mit \inf
oder von 0^(+) mit - \inf bei 1/x ist es ja gerade umgekehrt gut weiter im Kontext das 1/sin(x) kann ich mir schon schwerer visualisieren der sin(x)
ist punktsymetrisch und geht von 1 bis -1 wie ich geahnt habe der Funktionsplotter 8geo Gebra zeigt es)dies läuft gerade
für x gegen 0^(-) gegen - \inf und für 0^(+) gegen +\inf
also gerade das gegenteil von -1/x
würde dies dann Heißen dass sich die jeweiligen Werte gegenseitig aufheben
da ja vom 0^(-) kommend sich ein -\inf von 1/sin(x) dem \inf von -1/x
gegenüberstehen und bei 0^(+) gerade umgekehrt aber darf man
überhaupt \inf -\inf rechnen ist dies nicht laut Definition ausgeschlossen
bzw nicht wohldefiniert. aber was dann sollte man mit dem Hauptnenner arbeiten und dann Hospital probieren dies wäre dann (x-sin(x))/(sin(x)*x)
und dann Hospital oder wird dies dann chaotisch kompliziert
aus x-sin(x) wird in der Ableitung -cos(x) und aus x*sin(x) in der Ableitung
sin(x)+ x(-cos(x)) ergibt zusammen (-cos((x))/(sin(x)+ x(-cos(x)))
aber dies bringt mich auch nicht voran die Lösung soll übrigens 0 sein aber wie komme ich da rechnerisch hin????
wie immer 10000 dank im Vorrasu euer Markus
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-27 23:40 - marathon im Themenstart)
aber dies bringt mich auch nicht voran
\quoteoff
Zweimal L'Hospital führt zum Ziel, wenn du dich beim Ableiten nicht verrechnest. Beachte, dass die Ableitung von $x$ nicht $0$, sondern $1$ ist und dass die Ableitung von $\sin(x)$ nicht $-\cos(x)$, sondern $\cos(x)$ ist.
--zippy
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-28
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Hallo,
ebenfalls völlig problemlos geht das mit der Reihenentwicklung des sin. (Was de facto allerdings auch L'Hospital ist)
Gruß Wauzi
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marathon
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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wenn mir dies hier einer mit der Reihenentwicklung demonstrieren könnte und mein Sorgenkind und das Ln(x)*tan(x)
vom anderen Post habe da nur eine vorgeschlagene Lösung adptiert gibt es da noch anderes.
with a little help obwohl fas Little hier gegen
\
\inf bie meiner Unkenntnis zumindest gehen muss gut einfachere Strikturen sehe ich inzwischen ja auch schon danke !!!!!!für die gezeigte Toleranz
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Wauzi
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-28
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Ersetze doch zuerst sin(x) durch die zugehörige Reihe
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-28
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Dort hast du inzwischen ein Beispiel für die zweimalige Anwendung von L'Hospital. Und hier geht das völlig analog.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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marathon
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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gut der sinus als reihe geht doch mit
\
sum((-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,k=0,\inf )
gut nun den sin als taylor reihe weitergeführt bzw ausgeführt
sum((f^(n)*(x_0)/n!*(x-x_0)),k=0,\inf )
das wäre dann
f(x_0)+f^'(x-x_0)/1!+ f^''(x-x_0)^2/2! +f^'''(x-x_0)^3/3!+f^''''(x-x_0)^4/4!....
immer die Ableitung in detr der sinus als sin oder als -sin auftaucht fliegt raus also die f^''=-sin(x)=0 ect f^'''' =sin(x) = 0 ect
es entsteht x -x^3/3!+x^5/5! ext soweit und nun muss ich soll ich... die weiteren Schritte der Blinde der vom Sehen träumt sorry!!!
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-29
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Führe doch erstmal deinen Ansatz mit L'Hospital aus dem Startbeitrag zu Ende, bevor du dich jetzt mit Reihenentwicklungen verzettelst.
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Wauzi
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-29
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Die erste Zeile reicht.
Gehe dann zu Deiner Aufgebe, fasse mit dem Hauptnenner zusammen und setze dann die Reihe ein. Es fällt einiges weg und dann kannst Du im Nenner ausklammern...
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zippy
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-29 10:19 - zippy in Beitrag No. 7)
Führe doch erstmal deinen Ansatz mit L'Hospital aus dem Startbeitrag zu Ende, bevor du dich jetzt mit Reihenentwicklungen verzettelst.
\quoteoff
Nun, Wauzi sieht das offenbar anders.
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marathon
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-30
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\
gut ich nehme dern Hauptnenner
(x-sin(x))/(x*sin(x))
dann leite ich ab getrennt natürlich
(1-cos(x)/(sin(x)+x*cos(x) gibt immer noch 0/0
da oben 1-1 durch den Cos gegen null entsteht und unten ebenso also nochmal ableiten
sin(x)/(cos(x)+cos(x)+x*sin(x)) wahrscheinlich irgend ein kleinerer Patzer zumindest geht der Nenner nun nicht mehr gegen 0 also sin(x)/2=0 für
für x gegen =0 stimmt dies soweit ja und nun wie fasse ich den sin und dern ln als reihe zusammen hab irgernd was von einem cauchy Produkt für Reihen gelesen
oder passt der Begriff hier gar nicht .....
ja Zippy hat recht aus didaktischer Perspektive
und der eine Grenzwertrechner mit der Step für step Lösung die da angeboten wurde macht es machte es unnötigst!!!schwer...wenn einer mein hoffentlich nicht abscheulichst falsches mini Pseudo-Elaborat kurz prüfen könnte
danke euer M
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zippy
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-30
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\quoteon(2023-01-30 01:12 - marathon in Beitrag No. 10)
sin(x)/(cos(x)+cos(x)+x*sin(x)) wahrscheinlich irgend ein kleinerer Patzer
\quoteoff
Es müsste im Nenner $\ldots-x\cdot\sin(x)$ heißen. Aber deine Schlussfolgerung, dass der Grenzwert $=0$ ist, bleibt auch damit richtig.
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