| Autor |
  Grenzwert mit Ln und Tangens |
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marathon
Aktiv 
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 676
 |  Themenstart: 2023-01-28
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ja hab hier noch einen Grenzwert den ich (nach wie vor nicht beherrsche leider!!!!!) na gut in meiner nicht vorhandenen Preislage ......
\
hier die neue kleine Delikatesse
lim(x->0,x) ((ln(x)/cot(x))
gut ln(x) ergibt 1/(x)
1/cot(x) erbringt 1/(cos(x)/sin(x))also wieder
sin(x)/cos(x) abgeleitet (cos^2(x)-(-sin^2(x)))/(cos^2(x)
=1/cos^2(x) also zusammen 1((x*cos^2(x)) und nun ????bin ich überhaupt weiter als Lösung soll übrigens 0 herauskommen
gekommen
hier auch noch mal als Bild geplottet
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_grenzwert_lnx_tanx.png
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4409
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-28
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Hier gilt das gleiche wie in deinem anderen Grenzwert-Thread: Zweimal L'Hospital und richtig ableiten. Insbesondere die richtige Funktion und nicht deren Kehrwert.
--zippy
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2547
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-28
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Huhu marathon,
für den Grenzwert - so wie er dort steht - erübrigt sich L'Hospital, da \(\log(x)\) nicht auf einem Intervall, welches \(0\) enthält, definiert ist. \(\log(x)\) ist nur rechts der Null definiert. Der Grenzwert existiert also nicht.
Gruß,
Küstenkind
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Kuestenkind,
\quoteon(2023-01-28 11:14 - Kuestenkind in Beitrag No. 2)
für den Grenzwert - so wie er dort steht - erübrigt sich L'Hospital, da \(\log(x)\) nicht auf einem Intervall, welches \(0\) enthält, definiert ist. \(\log(x)\) ist nur rechts der Null definiert. Der Grenzwert existiert also nicht.
\quoteoff
Hm, es reicht doch aus, dass \(x_0=0\) ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs der Logarithmusfunktion ist?
Also warum sollte der Grenzwert hier nicht definiert sein?
Oder meinst du das Detail, dass eine richtige Notation die folgende gewesen wäre:
\[\lim_{x \searrow 0}\frac{\ln x}{\cot x}\]
Das stimmt natürlich, da wird der Themenstarter mit dem fedgeo-Editor nicht zurecht gekommen sein.
@marathon:
Folgende Möglichkeit zur Notation eines rechtsseitigen Grenzwerts gäbe es im fedgeo-Formeleditor:
\sourceon fedgeo
lim(x \textdownarrow 0,ln(x)/cot(x))
\sourceoff
Ergibt:
\
lim(x \textdownarrow 0,ln(x)/cot(x))
Oder ganz einfach:
\
lim(x->0+,ln(x)/cot(x))
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4409
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 11:14 - Kuestenkind in Beitrag No. 2)
\(\log(x)\) ist nur rechts der Null definiert. Der Grenzwert existiert also nicht.
\quoteoff
Für eine Funktion $f$ mit dem Definitionsbereich $(0,\infty)$ bedeuten $\lim_{x\to0}f(x)$ und $\lim_{x\searrow0}f(x)$ dasselbe, denn ein Grenzwerts $\lim_{x\to a}f(x)$ beschäftigt sich ja nur mit solchen $x$, die im Definitionsbereich von $f$ liegen.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2547
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-28
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Ich sehe das nicht als "Notationsproblem". \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\) und \(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)\) beschreiben doch zwei unterschiedliche Grenzwerte. Der erste existiert genau dann, wenn \(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)\) und \(\lim\limits_{x\to 0-}f(x)\) existieren und gleich sind. Es macht doch auch einen Unterschied, ob ich dich nach \(\lim\limits_{x\to 2} \frac{|x-2|}{x-2} \), oder \(\lim\limits_{x\to 2+} \frac{|x-2|}{x-2} \) frage.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1417
Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Ich muss zippy beipflichten.
Der Term \(\frac{|x-2|}{x-2}\) ist sowohl links als auch rechts der 2 definiert, aber \(\mathrm{ln}(x)\) ist nur rechts der 0 definiert.
Also ist \(\lim\limits_{x\to 0^+}\mathrm{ln}(x)\) = \(\lim\limits_{x\to 0}\mathrm{ln}(x)\).
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2547
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 12:23 - thureduehrsen in Beitrag No. 6)
Ich muss zippy beipflichten.
\quoteoff
Das ist ja auch dein gutes Recht. Dann bräuchte man eben diesen Satz.
\quoteon(2023-01-28 11:58 - zippy in Beitrag No. 4)
Für eine Funktion $f$ mit dem Definitionsbereich $(0,\infty)$ bedeuten $\lim_{x\to0}f(x)$ und $\lim_{x\searrow0}f(x)$ dasselbe, [...]
\quoteoff
Wo kann man das nachlesen?
Mein Beispiel bezog sich ja auch auf diesen Satz:
\quoteon(2023-01-28 12:04 - Kuestenkind in Beitrag No. 5)
Der erste existiert genau dann, wenn \(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)\) und \(\lim\limits_{x\to 0-}f(x)\) existieren und gleich sind.
\quoteoff
Dafür kann ich gerne ein Quelle liefern. Es gibt dann auch Leute, die das so sehen wie ich, siehe z. B. den Kommentar von Arturo Magidin hier.
Gruß,
Küstenkind
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4409
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 12:48 - Kuestenkind in Beitrag No. 7)
Wo kann man das nachlesen?
\quoteoff
Ich kenne keine Definition des Grenzwerts, die das nicht leisten würde.
Auf jeden Fall sieht das der erstbeste Google-Treffer zu diesem Thema so:
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2067
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo Kuestenkind,
das kommt ganz einfach auf die konkrete Definition an. Die allgemeinste Definition, die ich kenne und die so auch auf topologische Räume verallgemeinert werden kann, ist:
Sei $D\subseteq \mathbb R$ nichtleer, $x_0\in \mathbb R$ ein Häufungspunkt von $D$ und $f\colon D\to \mathbb R$ eine Funktion. Dann:
$$
\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell\in \mathbb R \iff \forall\varepsilon>0 \, \exists\delta>0: f((B_\delta(x_0)\setminus\lbrace x_0\rbrace)\cap D)\subseteq B_\varepsilon(\ell).
$$
Manche schreiben dann der Deutlichkeit halber auch
$$
\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x\in D}} f(x)=\ell
$$
dafür. Für eine Verallgemeinerung auf topologische Räume ersetzt man $B_\delta(x_0)\setminus\lbrace x_0\rbrace$ bzw. $B_\varepsilon(\ell)$ durch entsprechende offene Umgebungen von $x_0$ bzw. $\ell$. (Wobei man dann i.A. natürlich nicht $\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ schreiben kann, da Grenzwerte dann nicht mehr eindeutig sein müssen).
Mit dieser Definition des Grenzwertes gilt der von dir angesprochene Satz mit linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerten nur, wenn $x_0$ sowohl ein Häufungspunkt von $D\cap(-\infty,x_0)$ als auch von $D\cap (x_0,\infty)$ ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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marathon
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Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 676
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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ja gut man einige sich also darauf,dass sich das
\
lim(x-0^(+),x)
gut bei all den irrsinnigsten Fettnäpfchen das
1/cot(x) ergibt wohl schon tan(x) soweit ich mit dieser Annahme einem weiteren Fauxpass ausweiche ich schreibe also
ln(x)*tan(x) = 1/x*sin(x)/cos(x) +ln(x)*1/cos^2(x)
in einem gefundenen Grenzwertrechner habe ich ein vorgeschlagenes
Produktlimit gefunden dabei wurde hier das 1/cos(x) also der Nenner aus dem Tan
bei der Vorgabe lim(x->0)*(1/cos(x))als 1 angesetzt und dann mit
lim(x->0,x)ln(x)*sin(x)
weitergerechnet wurde darf man das ist dies eine der Standardtechniken dann bei diesem Grenzwertrechner mit Teilschritten ein weiterer Kniff es wurde mit x erweitert und lim(x->0,x)sin(x)/x =1 laut Definition wahrscheinlich den streng genommen wäre dies ja wieder ein 0/0 wenn ich das richtig sehe
danach bliebe da nur noch das lim(x->0)(ln(x)*x)
als weiteres wurde x mit 1/t ausgetauscht und man näherst sich langsam aber sicher der Zielgerade aber nun verliesen sie ihn also mich und ich wähnte mich scon kurz vor der finish line kann es einer vielleicht zu Ende bringen oder gibt es auch eine viel pragmatischere lösung
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4409
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-28
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\quoteon(2023-01-28 21:59 - marathon in Beitrag No. 10)
1/cot(x) ergibt wohl schon tan(x)
\quoteoff
Aber das bringt dir doch nichts, da du für L'Hospital einen Bruch brauchst. Fang doch einfach mit dem an, was gegeben ist, nämlich dem Bruch$$
{\ln x\over\cot x} \;.
$$Jetzt kommt die erste Anwendung von L'Hospital. Ableiten von Zähler und Nenner liefert:$$
{1/x\over-1/\sin^2x} = -{\sin^2x\over x}
$$Dann das ganze nochmal:$$
-{2\sin x\cos x\over 1} \to0
$$
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marathon
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Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 676
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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die Planetarier eben !!!!! pyramidabel Wörter der empfundenen Wertschätzung die es so gar nicht gibt - vetrbunden mit Sprachlosigkeit die Dinge gehen einfach wenn man weiß ja wie die Zusammenhänge aussehen sonst verliert man sich im labyrint möglichster Spekukation!!!!!!interstellarstes Level Danke an Zippy
gut werd mich nun an die Darstellung als Reihe machen später mehr!!!!
nochmal!!!!!!!!Mfg Markus
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