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  Aufgabe zum Grenzwert der e-Funktion |
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William_Wallace
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 |  Themenstart: 2023-01-29
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Guten Tag, könnte mir mal jemand auf die Sprünge helfen...
Wie kann ich das umformen, sodass ich (1+ 1/(n))^n = e bzw. (1+ x/(n))^n = e verwenden kann?
Also wie bekomme ich das hoch2 im Nenner weg?
lim(n->\inf,(1+ 1/(n^2))^n)
Danke
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luis52
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Moin, vllt so: Betrachte $\exp(x\log(1+x^2))$ und wende l'Hospital an.
vg Luis\(\endgroup\)
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Diophant
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
betrachte
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\]
Und überlege dann, durch welche Umformung man von diesem Term zu dem von dir betrachteten kommt (-> Potenzgesetze).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Folgen und Reihen' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)
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William_Wallace
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon
betrachte
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\]
Und überlege dann, durch welche Umformung man von diesem Term zu dem von dir betrachteten kommt (-> Potenzgesetze).
\quoteoff
Danke...
Achso, dann lass ich das hoch2 im Nenner stehen, bestle aber noch ein hoch2 in die Potenz?
(1+1/n^2) = ((1+ 1/n^2)^(n^2))^(1/2)
etwa in der Art?
@Luis52: L'hopital hatten wir nicht
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Diophant
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-29 15:50 - William_Wallace in Beitrag No. 3)
Achso, dann lass ich das hoch2 im Nenner stehen, bestle aber noch ein hoch2 in die Potenz?
(1+1/n^2) = ((1+ 1/n^2)^(n^2))^(1/2)
etwa in der Art?
\quoteoff
Nein. Bedenke folgendes: \(x^{n^2}=x^{n\cdot n}\). Du könntest einen der beiden Faktoren im Exponenten durch Division loswerden. Bei welchem Potenzgesetz würde das denn passieren?
Ein Potenzgesetz, bei dem im Exponenten wieder potenziert wird (und Radizieren ist nichts anderes) gibt es nicht.
Falls du damit weiterkommst: kennst du das sog. Einschließungs-Lemma (auch als "Sandwich-Lemma" bekannt)? Damit sollte man hier bei meinem Weg zur Sicherheit arbeiten. Dabei kann man ausnutzen, dass die betrachtete Folge (also die, für die du den Grenzwert suchst), monoton steigend ist.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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William_Wallace
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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Hm leider verstehe ich nicht wie das mit dem Potenzgesetz gehen soll.... (Aber ich kenne die Gesetze)
Und das Sandwichlemma hatten wir zu diesem Zeitpunkt noch nicht. Die anderen Aufgaben gingen alle mit Potenzgesetze...
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Diophant
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\quoteon(2023-01-29 18:12 - William_Wallace in Beitrag No. 5)
Hm leider verstehe ich nicht wie das mit dem Potenzgesetz gehen soll.... (Aber ich kenne die Gesetze)
\quoteoff
Es ist
\[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\]
Vom Wurzelinhalt kennst du den Grenzwert.
\quoteon(2023-01-29 18:12 - William_Wallace in Beitrag No. 5)
Und das Sandwichlemma hatten wir zu diesem Zeitpunkt noch nicht. Die anderen Aufgaben gingen alle mit Potenzgesetze...
\quoteoff
Das kann eigentlich nicht sein. Wie habt ihr denn \(\ds\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e\) gezeigt? Da benötigt man das nämlich, soweit ich weiß...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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William_Wallace
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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Top danke,
... Ah ich meinte Quadratwurzel... ok das mit der n-ten Wurzel verstehe ich glaube ich nicht... Warum nicht Quadratwurzel?
Einführung der E-Funktion nach Hairer - Analysis in historischer Entwicklung oder hier S. 14-15
https://na.uni-tuebingen.de/ex/ana1_ws20/manuskript1.pdf
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-29 19:00 - William_Wallace in Beitrag No. 7)
Top danke,
... so meinte ich es ja auch mit dem hoch 1/2. Habe es dann wohl nur falsch aufgeschrieben...
\quoteoff
Du bist aber noch nicht fertig. Wie lautet denn der Grenzwert?
\quoteon(2023-01-29 19:00 - William_Wallace in Beitrag No. 7)
Einführung der E-Funktion nach Hairer - Analysis in historischer Entwicklung oder hier S. 14-15
https://na.uni-tuebingen.de/ex/ana1_ws20/manuskript1.pdf
\quoteoff
Also alles was recht ist: das ist ein Vorlesungsmitschrieb, da werde ich mich jetzt sicherlich nicht durcharbeiten.
Es geht ja auch nicht darum, ob man einen Sachverhalt unter dem oder jenem Namen "durchgenommen" hat: hast du dir die verlinkte Wikipediaseite gründlich durchgelesen und den geschilderten Sachverhalt verstanden? Falls ja, dann wirst du mir recht geben: das habt ihr bestimmt schon mehrfach verwendet, entweder unter irgendeinem Namen, oder eben unter der Annahme, dass es evident ist.
Der langen Rede kurzer Sinn: wenn du den Grenzwert hast, dann schreibe das ganze sauber hin, indem du deine Folge geeignet nach unten und oben abschätzt, so dass beide Seiten den gleichen Grenzwert besitzen.
Gruß, Diophant
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William_Wallace
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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okay, dann die Kurzform: wir sind über Näherungsverfahren und Reihenentwicklungen (Newton) zur e-Funktion gekommen.
ist es nicht die n-te sqrt(e) ??
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-29 19:16 - William_Wallace in Beitrag No. 9)
okay, dann die Kurzform: wir sind über Näherungsverfahren und Reihenentwicklungen (Newton) zur e-Funktion gekommen.
\quoteoff
Es geht hier nicht um die e-Funktion, sondern um die Eulersche Zahl \(e\) als Grenzwert der Folge \(e_n:=(1+1/n)^n\). Und die Konvergenz dieser Folge müsst ihr ja irgendwie nachgewiesen haben, wobei man da - egal wie die Vorgehensweise konkret ist - an der einen oder anderen Stelle abschätzen muss. Und darum geht es doch.
\quoteon(2023-01-29 19:16 - William_Wallace in Beitrag No. 9)
ist es nicht die n-te sqrt(e) ??
\quoteoff
Und was ist \(\ds\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{e}\)?
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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William_Wallace
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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Hm, ich denke, das ist doch der Grenzwert? Also die n-te sqrt(e)
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Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
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\quoteon(2023-01-29 19:42 - William_Wallace in Beitrag No. 11)
Hm, ich denke, das ist doch der Grenzwert? Also die n-te sqrt(e)
\quoteoff
Nein. \(n\) ist doch eine Variable. Du musst doch für diese Aufgabe den Grenzwert von \(\sqrt[n]{a}\) (für \(a>0\) und \(n\to\infty\)) zur Verfügung haben?
Sonst schlage ihn bitte an geeigneter Stelle nach.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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nzimme10
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2023-01-29
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-01-29 19:22 - Diophant in Beitrag No. 10)
Und was ist \(\ds\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{e}\)?
\quoteoff
Das läuft dann zwar auf das richtige Ergebnis hinaus, aber die Art und Wiese Weise, wie man dann zum Ergebnis gekommen ist, ist falsch.
Man kann ja nicht bei
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}
$$
das eine $n$ gegen $\infty$ laufen lassen, während das andere $n$ fest bleibt. Hier sollte man am besten noch eine Abschätzung nach oben und unten vornehmen, bevor man den Grenzwert bildet.
LG Nico\(\endgroup\)
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zippy
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 | Beitrag No.14, eingetragen 2023-01-29
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Mir ist noch nicht klar, wohin sich eure Argumentation bewegt, ich möchte aber schonmal darauf hinweisen, dass$$
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}} =
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}} =
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{e}$$eine hilfreiche heuristische Überlegung, aber kein Beweis ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.15, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-29 19:51 - nzimme10 in Beitrag No. 13)
Man kann ja nicht bei
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}
$$
das eine $n$ gegen $\infty$ laufen lassen, während das andere $n$ fest bleibt. Hier sollte man am besten noch eine Abschätzung nach oben und unten vornehmen, bevor man den Grenzwert bildet.
\quoteoff
Genau darauf möchte ich doch die ganze Zeit hinaus. Siehe dazu die Beiträge #4 und #8.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]\(\endgroup\)
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William_Wallace
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
|
Ok, ich verstehe jetzt, wo das Problem liegt,...
Es sieht so aus, dass ich das im Moment nicht lösen kann.
Wir hatten keinen Grenzwert zur n-ten Wurzel. Ich dachte, das geht ohne Abschätzung. Jedenfalls danke für die Hinweise.
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.17, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-01-29 20:13 - William_Wallace in Beitrag No. 16)
Ok, ich verstehe jetzt, wo das Problem liegt,...
Es sieht so aus, dass ich das im Moment nicht lösen kann.
Wir hatten keinen Grenzwert zur n-ten Wurzel. Ich dachte, das geht ohne Abschätzung. Jedenfalls danke für die Hinweise.
\quoteoff
Das ist alles ziemlich seltsam vor dem Hintegrund, dass ihr die Exponentialfunktion offensichtlich schon eingeführt habt. Von daher sollten die Themen Folgen und Reihen doch schon vorher einigermaßen abgeschlossen gewesen sein, und da ist für \(a>0\) der Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\) eigentlich so elementar, dass er in diesem Zusammenhang behandelt und hergeleitet wird.
Außerdem solltest du bereits wissen, dass die Folge \(e_n=(1+1/n)^n\) monoton wächst.
Damit ergibt sich für die betrachtete Folge sofort die folgende Ungleichungskette:
\[1<\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}<\sqrt[n]{e}\]
Und wenn man jetzt \(n\to\infty\) laufen lässt, dann folgt mit dem Einschließungslemma eben:
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=1\]
Da nach dem Grenzübergang sowohl die linke als auch die rechte Seite der Ungleichungskette den Wert 1 haben.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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William_Wallace
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