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 Grenzwertbegriff mit dem ε-Kriterium |
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spikespiegel43
Aktiv 
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 50
 |  Themenstart: 2023-01-30
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Hallo,
ich habe mich gewundert wie man für den folgende Aufgabe mit dem epsilon-kriterium zeigen kann, dass ein Grenzwert existiert.
Möchte ich den Grenzwert für \( \lim \limits_{x \to 0} x \) berechnen. Dann habe ich das Problem, dass für die Folge \( a_n \) mit der Abbildung F: N -> R gilt, dass \( (a_n) \) immer weiter wächst oder ob es in diesem Fall umgekehrt ist? Gibt also x -> 0 in diesem Fall vor dass mit fortschreitendem n immer "näher" an eine Zahl 0 abgebildet wird?
Mir ist zwar klar, dass \( \lim \limits_{x \to 0} x \) = 0 ist. Aber durch die Definition. Bedeutet dies das hier für den Fall \( \lim \limits_{x \to 0} x \) mit der Abbildung F: N -> R für a1 = 100, a2= 99 usw. immer kleinere Werte eingesetzt werden?
Denn dann wäre der Beweis einfach. Es gilt dann nämlich
\( |a_n - 0| = |a_n| \), dann gilt ab einem bestimmten \( n_0 \), dass \(a_{n_0} <= 1 \) und das heißt für alle \( n > n_0 \) existiert mit dem Satz des Archimdes für alle \( a_n \) ein y sodass (wobei y eine natürliche Zahl ist): \( a_{n} < \frac{1}{y} < \epsilon \).
Ist es also richtig anzunehmen das bei der Betrachtung gegen Null für \(a_n = x \) gilt \( a_{n_1} > a_{n_2} \) usw.?
Das Problem ist, dass für x -> 0 auch reelle Zahlen eingesetzt werden müssten. Also so etwas wie f(0.0001), damit sich die Folge der Null nähert, dies ist nach Definition aber nicht möglich.
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thureduehrsen
Senior 
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1493
Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2023-01-30 17:20 - spikespiegel43 im Themenstart)
Dann habe ich das Problem, dass für die Folge \( a_n = x \) mit der Abbildung F: N -> R gilt, dass \( (a_n) \) immer weiter wächst.
\quoteoff
Was machst du da?
Wenn \(a_n=x\) für alle \(n\) gilt, dann ist die Folge konstant.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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spikespiegel43
Aktiv
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 50
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-30
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Ja entschuldige, dann ist \(f(1) = a_1 > f(2) = a_2 \) bei der Betrachtung von limes x->0 (x) ? Das kann aber nicht sein denn \( f(1) = 1 \) und \( f(2) = 2 \).
D.h es müssten reele Zahlen eingesetzt werden in die Funktion. Das ist aber laut Defintion einer Folge nicht möglich, da f: N -> R abbildet.
Ist die Definition eventuell ungeschickt gewählt?
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