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  Probeklausur Erwartungswert Münzwurf |
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Sekorita
Aktiv 
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Mitteilungen: 425
 |  Themenstart: 2023-02-02
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Hallo,
mit folgender Aufgabe habe ich Probleme:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_KlausurWinter4.JPG
a)
Eine \IN-wertige Zufallsvariable X muss diskret sein.
Sei X:\Omega->\IR eine Zufallsvariable. Ist S:=X(\Omega) eine endliche Menge, so ist der Erwartungswert definiert als:
E[X]:= sum(x*P(X=x),x\el\ S,)
b)
Hier muss es doch eine deutliche einfachere Methode geben, als nun alle mögliche Anzahlen von Möglichkeiten von 3mal Kopf hintereinander und die jeweilige Wahrscheinlichkeit aufzusummieren.
Würde man nur Kopf werfen, hätte man ja 40Ks auf die 2 weitere Folgen,
also 40* (1/2)^42 ....... Wie kann ich das hier zügig und elegant lösen ?
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-02
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Moin Sekorita,
zu (a): Deine Formel stimmt für alle diskreten Zufallsvariablen, also auch dann, wenn $S$ nicht endlich, sondern abzählbar unendlich ist (in dem Sinn, dass die angegebene Reihe unbedingt konvergiert genau dann, wenn der Erwartungswert existiert und in diesem Fall Gleichheit herrscht).
Wie lautet hier also $S$? Wie lautet dann der Reihenausdruck für $\mathbb{E}(X)$ und welche Reihenwerte sind dann möglich?
Zu (b): Korrekt, das wäre hier maximal ungeschickt. Bei Problemstellungen dieser und verwandter Bauart kann man oft so vorgehen, dass man mithilfe von Indikatorfunktionen einen Ausdruck für die interessierende ZV $X$ (insbesondere, wenn diese irgendeine Anzahl von etwas in einer Serie von unabhängigen und identischen Zufallsexperimenten angibt, wies hier der Fall ist) konstruiert und dann damit unter Verwendung der Rechenregeln für Erwartungswerte (insbesondere Linearität und Multiplikativität bei unabhängigen Faktoren) $\mathbb{E}(X)$ berechnet.
Hier konkret relevant sind die Indikatorfunktionen $1_{A_i}$, wobei $A_i$ für $i = 1, \ldots, 40$ das Ereignis bezeichnet, dass die Münze $i$ wie auch die beiden folgenden auf $K$ landen. Schreibe mithilfe dieser Indikatorfunktionen einen Ausdruck für $X$ an und gehe dann wie beschrieben vor.
LG,
semasch
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Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
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zu a) Es ist ja eine N-wertige ZV, also müsste es hier dann so aussehen:
Sei X:\Omega->\IN eine \IN-wertige Zufallsvariable. Dann ist N:=X(\Omega) eine abzählbar unendliche Menge, womit der Erwartungswert definiert ist als:
E[X]:= sum(x*P(X=x),x\el\ \IN,)
zu b)
Also sei dann X:= Wieviele K es in der Reihe gibt, auf die ohne Unterbrechung zwei weitere K´s folgen.
Ich verstehe den Sinn der Indikatorfunktion hier, bzw. warum ich diese einbringen soll, nur bei der Notation hapert es mal wieder.....
Die Anzahl der K´s lässt sich auch darstellen mit
X:= X_1,....X_40, wobei X_i bedeutet, wieviele i-K´s es gibt auf die ohne Unterbrechung zwei weitere K´s folgen.
Dann ist E[X]= E[X_1+....+X_40] = sum(E[X_i ],k=1,40)
Macht das hier erstmal Sinn? Ich wollte dann im nächsten Schritt irgendwie die Indikatorfunktion einbringen
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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-02
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Wähle $X_i=1$, wenn sowohl der $i$-te als auch die beiden darauffolgenden Würfe "K" anzeigen und $X_i=0$, wenn das nicht der Fall ist.
Dann ist $X$ gerade die Summe der $X_i$. Die Erwartungswerte der $X_i$ kann man leicht angeben und von dort auf den Erwartungswert von $X$ schließen.
Der "Trick" ist sozusagen, den Erwartungswert von $X$ zu ermitteln, ohne die Verteilung von $X$ bestimmen zu müssen.
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2023-02-02 23:46 - Kitaktus in Beitrag No. 3)
Der "Trick" ist sozusagen, den Erwartungswert von $X$ zu ermitteln, ohne die Verteilung von $X$ bestimmen zu müssen.
\quoteoff
... und dass für die Linearität des EW nicht die Unabhängigkeit der Verteilungen gebraucht wird. (Denn die einzelnen X_i sind ja nicht unabhängig.)
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Sekorita
Aktiv
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Mitteilungen: 425
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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Also sei X:=X_i mit i\el\ {1,....,42} wobei X_i=1 wenn der i-te als auch die beiden darauffolgenden Würfe "K" anzeigen und X_i=0 wenn dies nicht so ist-
(Bei dieser Definition der ZV X muss ich doch bis 42 aufsummieren, korrekt?
Dann ist E[X] = E[X_i] = E[ sum(X_i,i=1,42)] = sum(E[X_i],i=1,42)
= E[X_1]+....E[X_42]
Jetzt stehe ich aber doch gerade auf dem Schlauch....
Jetzt sind doch eigentlich alle meine X_i Bernoulli-verteilt. Und der Erwartungswert einer Bernoulli verteilten ZV ist ja p. aber p habe ich ja nicht....
Ich bitte um Aufklärung bei der Aufgabe....
Ebenfalls würde es mich auch interessieren, wie ich das ganze mit der Indikatorfunktion angehe, bzw. notiere. Weil sogesehen ist dieser Ansatz ja ähnlich dazu mit der Indikatorfunktion zu arbeiten
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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2023-02-03 09:32 - Sekorita in Beitrag No. 5)
Also sei X:=X_i mit i\el\ {1,....,42} wobei X_i=1 wenn der i-te als auch die beiden darauffolgenden Würfe "K" anzeigen und X_i=0 wenn dies nicht so ist-
(Bei dieser Definition der ZV X muss ich doch bis 42 aufsummieren, korrekt?
Dann ist E[X] = E[X_i] = E[ sum(X_i,i=1,42)] = sum(E[X_i],i=1,42)
= E[X_1]+....E[X_42]
\quoteoff
Es geht noch etwas durcheinander, was X und was X_i ist.
\quoteon(2023-02-03 09:32 - Sekorita in Beitrag No. 5)
(Bei dieser Definition der ZV X muss ich doch bis 42 aufsummieren, korrekt?
\quoteoff
Kannst du machen. Es ist E(X_41) = E(X_42) = 0
\quoteon(2023-02-03 09:32 - Sekorita in Beitrag No. 5)
Jetzt sind doch eigentlich alle meine X_i Bernoulli-verteilt. Und der Erwartungswert einer Bernoulli verteilten ZV ist ja p. aber p habe ich ja nicht....
Ich bitte um Aufklärung bei der Aufgabe....
\quoteoff
p lässt sich sehr einfach bestimmen.
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Sekorita
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Mitteilungen: 425
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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Was ist denn da noch durcheinander?
Rein intuitiv hätte ich jetzt gesagt,
Ist p= 1/2 *1/2 *1/2 = 1/8 ? Weil ja 3 Würfe hinterhereinander Kopf zeigen müssen ? Wenn nicht, dann weiß ich leider nicht weiter....
Ich bin irgendwie selbst nicht mit der Antwort zufrieden, aber ich Blicke gerade leider nicht durch
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Sekorita
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Mitteilungen: 425
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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Der Erwartungswert aller X_i=1 ist also gleich und der aller X_i=0.
Folglich ist also
E[X] = E[X_1] +.....+E[X_42]
Wobei E[X_i] mit i\el\ {1,....,40} = 1/8
Und E[X_41]= E[X_42]=0
Also ist E[X_1] +.....+E[X_42] = 40*1/8 + 2*0 = 5
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7086
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-02-03
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EDIT 1: Die Antwort bezieht sich auf Beitrag #7:
Ja, die Wahrscheinlichkeit ist korrekt (für $i\in\{1,....,40(!)\}$).
Und durcheinander ist "Also sei $X:=X_i$ mit $i\in\{1,....,42\}$" und später $E[X]=E[X_i]$.
$X$ ist in der Aufgabe definiert. Die $X_i$ legst Du selbst fest und irgendwo muss zumindest mal die Feststellung stehen, dass $X$ gerade die Summe der $X_i$ ist.
Ansonsten:
Ich persönlich würde die $X_i$ nur für $i\in\{1,....,40(!)\}$ definieren, weil nur diese Münzen zwei Nachfolger haben.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
EDIT 2: Was Du in Beitrag #8 mit dem ersten Satz sagen willst, ist unklar. Der Rest passt.
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-04
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Danke vielmals :) Mittlerweile habe ich meinen Wirrwarr dort auch erkannt. Dir und allen anderen ein schönes Wochenende :)
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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sekorita hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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