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| Autor |
 Konvergenzradius |
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TonyStark
Junior 
Dabei seit: 19.10.2022
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2023-02-03
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Hallo zusammen,
folgende Aufgabe beschäftigt mich aktuell.
Für welche \(z\in \mathbb{C}\) konvergiert \(\sum\limits_{n=1}^{\infty } \left(\frac{3n}{2n-3}z \right)^{n}\) ?
Hier meine Lösung:
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty } \left(\frac{3n}{2n-3}z \right)^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \left(\frac{3n}{2n-3} \right)^{n}z^{n} \)
Nutze nun die Definition des Konvergenzradius.
Der Konvergenzradius gibt an, in welchem Bereich Konvergenz für die Potenzreihe garantiert ist. Es gilt:
\[r= \frac{1}{\limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{| (\frac{3n}{2n-3})^{n} | } }=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty }{ \frac{3n}{2n-3} } } \]
\[\Rightarrow \frac{1}{\limsup_{n \to \infty }{ \frac{3n}{n(2-\frac{2}{n}) } } } = \frac{2}{3} \]
Die Reihe Konvergiert also absolut für alle \(z \leq \frac{2}{3} \).
Ist das so korrekt?
LG
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10524
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das stimmt nicht ganz. Zum einen konvergiert die Reihe nur, wenn der Betrag von \(z\) innerhalb des Konvergenzradius liegt. Und zum anderen liefert dir der Konvergenzradius per se nur Konvergenz innerhalb der entsprechenden Kreisscheibe. Den Rand muss man wie immer gesondert untersuchen.
Du hast also bisher Konvergenz für \(|z|<\frac{2}{3}\).
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Profil
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TonyStark
Junior
Dabei seit: 19.10.2022
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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Danke für die Antwort.
Wie mache ich dann weiter?
Setze ich für \(z\) dann einfach \(-\frac{2}{3}\) ein und berechne erneut den Limes? Oder wie geht das für die Randpunkte?
LG
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10524
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-03 16:51 - TonyStark in Beitrag No. 2)
Wie mache ich dann weiter?
Setze ich für \(z\) dann einfach \(-\frac{2}{3}\) ein und berechne erneut den Limes? Oder wie geht das für die Randpunkte?
\quoteoff
Das wäre ja nur ein Randpunkt aus unendlich vielen. Schreibe die Reihe einmal in Polarform um, dann kannst du sie in zwei Reihen aufteilen: jeweils eine für den Real- und eine für den Imaginärteil.
Damit lässt sich das Verhalten auf dem Kreisrand i.d.R. gut untersuchen.
(Für Konvergenz müssten beide Teilreihen konvergieren.)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Altrnative Idee:
was weißt du über den Betrag von \( \dfrac{3n}{2n-3}z\), wenn \( |z|=\dfrac{2}{3}\) ist?
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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